Математические методы принятия решений. Бодров В.И - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В точке А (рис. 2.4) – точке касания линии ϕ (u
1
, u
2
) = 0 с линией равного уровня функции ϕ (u
1
, u
2
)
и Q (u
1
, u
2
) имеют общую касательную и необходимое условие (2.7) минимума представляет собой ус-
ловие пропорциональности двух векторов: вектора
∂
∂
∂
∂
=∇
21
,
u
Q
u
Q
Q – градиента функции Q (u
1
, u
2
) и век-
тора
∂ϕ
∂
∂ϕ
=ϕ∇
21
,
uu
– градиента функции ϕ (u
1
, u
2
).
Два вектора пропорциональны друг другу лишь в том случае, если они коллинеарные. Так как гра-
диент функции перпендикулярен касательной к линии уровня, то в точке А выполняется условие (2.7), и
множитель λ является коэффициентом пропорциональности между векторами ∇Q и ∇ϕ.
2.3.3 ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТРАКТОВКА МЕТОДА МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
В некоторых задачах множители Лагранжа допускают и экономическое толкование. Если толковать
целевую функцию Q (u
1
, ..., u
n
) как прибыль, получаемую некоторым предприятием при использовании
ресурсов, а условия ϕ
ι
(u
1
, ..., u
n
) = 0, ι = k,1 ограничения на дефицит ресурсов, то при ϕ
ι
(u
1
, ..., u
n
) < 0
прибыль, то максимум целевой функции будет расти.
Экономист такую задачу будет решать следующим образом. Он назначит некоторые цены λ
ι
на
единицы ресурсов ϕ
ι
и предложит потребителю купить их по этой цене. Последний, максимизируя чис-
тую прибыль
∑
=ι
ιι
ϕλ−=
k
nnn
uuuuQuuQ
1
111
),...,,()...,,()...,,( найдет (u
1
, ..., u
n
) и скажет, сколько ресурсов он хо-
тел бы купить. В экономике почти всегда бывает так, что чем больше λ
ι
, тем меньше ϕ
ι
(u
1
, ..., u
n
), и чем
меньше λ
ι
, тем больше ϕ
ι
(u
1
, ..., u
n
). Если окажется, что ϕ
ι
(u
1
, ..., u
n
) > 0, то экономист повысит цену,
если ϕ
ι
(u
1
, ..., u
n
) < 0 – понизит. Так будет происходить до тех пор, пока при некоторой цене, называемой
равновесной, потребителю будет выгодно, чтобы дефицит ресурсов ϕ
ι
(u
1
, ..., u
n
) был равен нулю, при
этом чистая прибыль будет максимальна, т.е. будут выполняться условия
.0
)...,,()...,,(
1
11
=
∂
∂ϕ
λ−
∂
∂
∑
=ι
ι
ι
ι
ι
k
nn
u
uu
u
uuQ
Таким образом, равновесная цена с точностью до знака равна множителю Лагранжа.
2.3.4 ОСОБЫЕ СЛУЧАИ
В заключение следует отметить особые случаи, когда градиент функции Q (u
1
, ..., u
n
) равен нулю
(∇Q = 0) и когда градиент ϕ
ι
(u
1
, ..., u
n
) равен нулю (∇ϕ
ι
= 0).
В первом случае решение может достигаться в точке экстремума функции Q (u
1
, ..., u
n
), множители
λ
ι
равны нулю, и задача сводится к задаче безусловного экстремума и условия ϕ
ι
(u
1
, ..., u
n
) = 0 роли не
играют. Во втором случае подозрительные на экстремум точки находятся из уравнений ∇ϕ
ι
(u
1
, ..., u
n
) =
0, в которых затем вычисляется значение критерия Q (u
1
, ..., u
n
).
Для того, чтобы условия экстремума были справедливы и в особых случаях, функцию Лагранжа за-
писывают в виде
∑
=ι
ι
ϕλ+λ=
k
nnn
uuuuQuuQ
1
1101
),...,,()...,,()...,,(
тогда можно утверждать, что для условного экстремума Q (u
1
, ..., u
n
) необходимо существование таких
чисел λ
0
, λ
ι
, одновременно не равных нулю, что в точке предполагаемого решения выполнены условия
λ
0
≥ 0

Страницы