Математические методы принятия решений. Бодров В.И - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

,0
)...,,(
...
)...,,(
...
)...,,(
11
1
1
=
∂
∂
==
∂
∂
==
∂
∂
ι n
nnn
u
uuQ
u
uuQ
u
uuQ
ϕ
ι
(u
1
, ..., u
n
) = 0.
Если λ
0
≠ 0, то его можно выбрать положительным числом, обычно полагают λ
0
= 1, это никак не
отражается на решении.
П р и м е р 2.3.
Требуется найти минимум функции Q (u
1
, u
2
) =
2
2
2
1
uu + при условии u
1
+ u
2
= 1.
Для решения записывается функция Лагранжа
),1(),(
21
2
2
2
121
−+λ++= uuuuuuQ
для которой уже необходимо определить безусловный экстремум. Необходимое условие экстремума
даст следующую систему уравнений:
=λ+=
∂
∂
=λ+=
∂
∂
ι
ι
,02
),(
;02
),(
2
21
1
21
u
u
uuQ
u
u
uuQ
откуда u
1
= –λ/2, u
2
= –λ/2. Используя уравнение связи u
1
+ u
2
= 1, получают λ = –1, u
1
= 1/2, u
2
= 1/2 и
соответственно minQ (u
1
, u
2
) = 1/2.
П р и м е р 2.4.
По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 180 изделий. Эти изделия
могут быть изготовлены двумя технологическими способами. При производстве u
1
изделий первым спо-
собом затраты равны (4u
1
+
2
1
u ) р., а при изготовлении u
2
изделий вторым способом они составляют (8u
2
+
2
2
u ) р. Определить, сколько изделий каждым из способов следует изготовить, так чтобы общие
затраты на производство продукции были минимальными.
Математическая постановка задачи состоит в определении минимального значения функции
2
22
2
1121
84),( uuuuuuQ +++= при условиях u
1
+ u
2
= 180, u
1
≥ 0, u
2
≥ 0.
Задача может быть решена методом множителей Лагранжа. Для этого без учета требования неотри-
цательности переменных составляется функция Лагранжа
).180(84),(
21
2
22
2
1121
uuuuuuuuQ −−λ++++=
Необходимое условие экстремума функции Лагранжа дает
=λ−+=
∂
∂
=λ−+=
∂
∂
,028
),(
;024
),(
2
2
21
1
1
21
u
u
uuQ
u
u
uuQ
откуда
.
2
8
,
2
4
21
−λ
=
−λ
= uu
Подстановка найденных значений в условие u
1
+ u
2
= 180 дает 180
2
8
2
4
=
−
λ
+
−
λ
и, следовательно, λ
=
186 и, соответственно, u
1
= 91, u
2
= 89.
По вторым частным производным можно показать, что найденная точка доставляет минимум функ-
ции Q (u
1
, u
2
), т.е. если будет изготовлено 91 изделие первым технологическим способом и 89 изделий
вторым технологическим способом, общие затраты будут минимальны и составят Q
min
= 17 278 р.
2.4 ОСОБЕННОСТИ РЕАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

Страницы