Математические методы принятия решений. Бодров В.И - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

а – максимум; б – минимум; в – экстремума нет
Если же 0
d
d
1
2
2
=
u
u
Q
, то для дальнейших исследований вычисляются
4
4
3
3
d
d
,
d
d
u
Q
u
Q
и т.д.
При решении практических задач, как правило, приходится исследовать функции, имеющие не-
сколько экстремумов. В этом случае говорят о нахождении наибольшего и наименьшего значения
функции, которые называют глобальными экстремумами. Остальные экстремумы называются локаль-
ными. Также в практических задачах диапазон изменения переменной u часто бывает ограничен задан-
ным интервалом [a, b], поэтому в число "подозреваемых" точек должны быть включены и крайние точ-
ки этого интервала, так как в них может достигаться глобальный экстремум.
2.2 ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
В большинстве задач оптимизации критерий оптимальности является функцией нескольких незави-
симых переменных – Q(u
1
, u
2
, ..., u
n
). Если он является непрерывной функцией, имеющей непрерывные
частные производные первого и второго порядка по всем переменным u
ι ),1( n=ι
, то необходимым усло-
вием экстремума в точке {u
*
} является равенство нулю в этой точке первых производных по всем пере-
менным, т.е. точки, в которой функция Q(u
1
, u
2
, ..., u
n
) может достигать экстремума, определяются ре-
шением системы уравнений
).,1(,0
)...,,,(
21
n
u
uuuQ
n
=ι=
∂
∂
ι
*u
(2.1)
Достаточные условия существования экстремума определяются в результате анализа знака квадра-
тичной формы
∑∑
==
=
n
j
jiji
n
i
xxaB
11
, коэффициенты которой определяются соотношениями
njia
uu
uuuQ
uu
uuuQ
a
ij
ij
n
ji
n
ij
,1,,
)...,,,()...,,,(
21
2
21
2
==
∂∂
∂
=
∂∂
∂
= .
Квадратичная форма может быть положительно определенной и отрицательно определенной. Ответ о
знаке квадратичной формы дает теорема, которая формулируется следующим образом: для положи-
тельной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы были выполнены ус-
ловия Сильвестра
>=∆
>=∆
>=∆
,0
...
............
...
...
...
;0
;0
21
22221
11211
2221
1211
2
111
nnnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aa
aa
a
(2.2)
т.е. все главные миноры матрицы
A =
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
21
22221
11211

Страницы