Математические методы принятия решений. Бодров В.И - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Найти минимум функции
2
2
1
1
U
u
Q
U
u
Q
F
∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=
для нашего
случая F = –4∆u
1
+ 2∆u
2
при условиях –∆u
2
≤ 0 (так как ϕ
5
(u
0
) = 0), ∆u
1
≤ 1, ∆u
2
≤ 1.
Решение этой задачи дает, что ∆u
1
= 1, ∆u
2
= 0, minF = –4.
Новое приближение u
1
определяется как u
1
= u
0
+ t∆u
1
, где
t – величина шага, определяемая из соотношения
(
)
,",'min
0",0' >>
=
tt
ttt
где
,
],[2
min
1
uuB
F
t
∆∆
=
′
t" – наименьшее поло-
жительное число среди отношений
.5,4,3,2,1,
)(
1
0
=ι
∆
ϕ
∑
=
ι
ι
n
i
ij
ua
u
В – матрица, состоящая из коэффициентов функции Q (u
1
, u
2
): b
11
= –2,
b
12
= 1, b
21
= 1, b
22
= –1; a
ιj
– коэффициент функций ϕ
ι
(ξ).
Таким образом, имеем, что
t = –1 < 0,
()
()
,44;
4
56
min
2
1
3
0
3
2
1
2
0
2
=
=
∆
ϕ
−=
∆
ϕ
=
′′
∑∑
== j
jjj
j
j
ua
u
ua
u
t
отсюда t = 4.
Координаты точки u
2
: .0,541
1
2
1
1
==+= uu Значения условий для этой точ-
ки:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.0,5,0,40,40
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
=ϕ−=ϕ=ϕ−=ϕ−=ϕ uuuuu
Для нахождения очередного направления спуска ∆u
2
= (∆u
1
, ∆u
2
) необходимо решить следующую зада-
чу линейного программирования: найти минимум функции F = –20∆ u
1
+ 10∆u
2
при условиях 4∆u
1
– 5∆u
2
≤
0,
–∆u
2
≤ 0, ∆u
1
≤ 1, ∆u
2
≤ 1.
Решение этой задачи дает ∆u
1
= 1, ∆u
2
,
5
4
−= при этом .
5
96
min −=F
Величина шага t:
()
,55;20min,0
4
96
==
′′
<−=
′
tt следовательно новое приближение ,
212
utuu ∆+= или
.4,10
2
2
2
1
== uu
Значение условий для точки u
2
:
(
)
(
)
,0,30
2
2
2
1
=ϕ−=ϕ uu
(
)
(
)
(
)
.4,10,0
2
5
2
4
2
3
−=ϕ−=ϕ=ϕ uuu
Для определения следующего направления решается задача линейного программирования: найти
минимум F = –32∆u
1
+ 12∆u
2
при условиях 4∆u
1
+ 5∆u
2
≤ 0, 4∆u
1
– 5∆u
2
≤ 0, ∆u
1
≤ 1, ∆u
2
≤ 1.
Решением этой задачи будет ∆u
1
= 0, ∆u
2
= 0, min F = 0. Следовательно u
2
= (10,4) является оптималь-
ным решением min Q (u
1
, u
2
) = –136.
П р и м е р 3.2
Найти максимальное значение функции
(
)
2
2
2
121
, uuuuQ −−= при услови-
ях:
()()
0,0,1877
21
2
2
2
1
≥≥≤−+− uuuu методом штрафных функций.
На рис. 3.16 представлена область допустимых решений и линии уровня, определяемые целевой
функцией Q (u
1
, u
2
). Этими линиями являются окружность с центром в точке (0, 0). Точка касания одной
из этих окружностей с областью допустимых решений и является точкой максимального движения це-
левой функции.
Используя штрафную функцию, последовательно переходят от одной точки к другой до тех пор, пока
не получат приемлемое решение.
При этом координаты последующей точки находят по формуле

Страницы