Математические методы принятия решений. Бодров В.И - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

нии, тыс. р.
Ежегодные затраты z (r),
связанные с содержанием
и
ремонтом оборудования,
тыс. р.
20 25 30 35 45 55
Зная, что затраты связаны с приобретением и установкой нового оборудования идентичного с уста-
новленным, составляют 40 тыс. р., а заменяемое оборудование списывается, составить такой план заме-
ны оборудования в течение 5 лет, при котором общая прибыль за данный период времени максимальна.
Эту задачу можно рассматривать как задачу динамического программирования, в которой в качест-
ве системы выступает оборудование. Состояние этой системы определяется фактическим временем ис-
пользования оборудования (его возраста) r, т.е. описывается единственным параметром r.
В качестве управлений выступают решения о замене и сохранении оборудования, принимаемые в
начале каждого года. Пусть u
1
– решение о сохранении оборудования, u
2
– решение о замене оборудо-
вания. Тогда задача состоит в нахождении такой стратегии управления, определяемой решениями, при-
нимаемыми к началу каждого года, при которой общая прибыль предприятия за пятилетку является
максимальной.
Сформулированная задача обладает свойством аддитивности и отсутствия последствия, ее решение
может быть найдено с помощью алгоритма решения задач динамического программирования, реали-
зуемого в два этапа. На первом этапе при движении от начала 5-го года к началу 1-го года для каждого
допустимого состояния оборудования находится условное оптимальное управление, а на втором этапе
при движении от начала 1-го года к началу 5-го года из условных оптимальных решений составляется
для каждого года оптимальный план замены оборудования.
Для определения условных оптимальных решений необходимо составить функциональное уравнение
Беллмана.
В предположении того, что к началу k-го года
(
)
5,1=k может быть принято только одно из двух ре-
шений – заменять или не заменять оборудование, то прибыль предприятия за k-й год составит
()
(
)
(
)
()()
−=−=
−
=
,при00
;при
,
2
1
uCrzrR
urzrR
urQ
n
kk
kk
k
k
k
где r
k
– возраст оборудования к началу k-го года
(
)
5,1=k ; u
n
– управление, реализуемое к началу k-го го-
да, C
n
– стоимость нового оборудования.
Таким образом, в данном случае уравнение Беллмана имеет вид
()
(
)
(
)
(
)
()() ()
=−−=−=
+−
=
+
+
+
.100
,
max
1
1
1
k
kn
kk
k
k
kk
r
k
k
rQCrzrR
rQrzrR
rQ
Используя последнее уравнение можно приступить к нахождению решения исходной задачи. Это
решение необходимо начать с определения условно оптимального решения (управления) для последне-
го
5-го года, в связи с чем находится множество допустимых состояний оборудования к началу данного года.
Так как в начальный момент имеется новое оборудование (r
1
= 0), то возраст оборудования к началу 5-го
года может составлять 1, 2, 3, 4 года. Поэтому допустимые состояния системы на данный период време-
ни таковы:
.4,3,2,1
5
4
5
3
5
2
5
1
==== rrrr
Для каждого из этих состояний находится условно оптимальное ре-
шение и соответствующее значение функции Q
5
( r
5
). В результате рассмотрения последнего года рас-
четного периода соотношение
(
)
0
1
6
=
+k
rQ и следовательно
()
(
)
(
)
()()
−=−=
−
=
.00
;
max
55
55
5
5
n
CrzrR
rzrR
rQ

Страницы