Математические методы принятия решений. Бодров В.И - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

При этом максиминная стратегия ξ
0
определяется как
,),(minmaxarg
0
ηξ=ξ
θ∈η
∈ξ
Q
E
(6.13)
а минимаксная стратегия η
0
как:
.),(maxminarg
0
ηξ=η
∈ξ
θ∈η
Q
E
(6.14)
В теории игр доказывается, что в смешанных стратегиях всегда существует
ν=ν , т.е. седловая точ-
ка.
Значение
ν=ν=ν называется ценой игры со смешанными стратегиями. Значения ξ
0
, η
0
, соответст-
вующие седловой точке, образуют устойчивую, а значит оптимальную ситуацию (ξ
0
, η
0
) = ( ξ
*
, η
*
).
6.3.3 Алгоритмы решения задач без седловых точек
Пусть ξ
*
, η
*
– оптимальные стратегии. Номера чистых стратегий ξ
*
и η
*
, вероятности которых не
равны нулю, называются спектрами S
ξ
, S
η
соответственно
{
}
{}
.0/,,2,1
,0/,,2,1
≠η==
≠ξ==
η
ξ
j
i
njS
niS
K
K
Иногда их называют реальными чистыми стратегиями.
Можно доказать, что
1) если S
ξ
содержит K чистых стратегий, то S
η
также содержит K чистых стратегий;
2) если один из игроков придерживается минимаксной (максиминной) стратегии, а другой выбирает
реальную чистую стратегию (т.е. стратегию принадлежащую спектру), то выигрыш первого игрока ос-
тается равным значению ν.
6.3.3.1 Игра 2 × 2
q
11
q
12
q
21
q
22
1 2
1
2
Чистые стратегии I = (1, 2), J = (1, 2).
В спектр входят обе стратегии. Если бы в спектр одного игрока входила бы одна стратегия S
ξ
= (1),
то и в спектр другого игрока также бы вошла одна стратегия S
η
= (2), а это значит, что была бы седловая
точка.
Допустим, что первый игрок придерживается максиминной стратегии ξ
*
= (ξ
1
*
, ξ
2
*
), а второй выбрал
чистую стратегию j = 1. Тогда эти стратегии входят в спектр чисел
.
*
221
*
111
ν=ξ+ξ qq
Для чистой стратегии j = 2 аналогичным образом можно записать
.
*
222
*
112
ν=ξ+ξ qq
Кроме того,
.1
*
2
*
1
=ξ+ξ
Таким образом, имеем три уравнения и три неизвестных. Следовательно, решение однозначно.

Страницы