Методы исследования операций при принятии решений. Бодров В.И - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим частный случай общей модели рождения и смерти (4.19), когда при t = 0 состояние сис-
темы n = 0, параметры λ и µ – const. Этот случай соответствует очереди с одним клиентом, пуассонов-
ским входным потоком и экспоненциальным временем обслуживания. В уравнениях модели (4.19)
можно оставить в этом случае лишь один индекс, т.е.
=µ+µ+λ−λ=
µ+λ−=
+−
K,2,1),()()()(
;)()(
11
10
0
ntPtPtP
dt
dP
tPtP
dt
dP
nnn
n
(4.22)
Система дифференциальных уравнений (4.22) описывает изменение во времени вероятностей со-
стояния P
n
(t), n = 0, 1, 2, …, которые называются неустановившимися вероятностями состояния.
Начальные условия для (4.22)
P
0
(0) = 1, P
n
(0) = 0, n = 1, 2, … (4.23)
Cистему уравнений (4.22) с начальными условиями (4.23) можно решить, его решение будет схо-
дится к статистически стационарному процессу
K,1,0),(lim ==
∞→
ntPP
n
t
n
только при условии λ/µ < 1.
Интуитивно это понятно, поскольку статистическая стационарность наступает только тогда, когда средний
интервал 1/λ между появлениями новых требований меньше среднего интервала 1/µ обслуживания.
Обозначим отношение параметра входного потока λ (интенсивности) к параметру обслуживания (ин-
тенсивности) или, что тоже самое, отношение среднего времени обслуживания 1/µ к среднему ин-
тервалу между появлениями новых требований как
ρ = 1/µ:1/λ = 1/µ.
Эту величину называют трафик-интенсивностью.
Если ρ < 1, то всегда существуют статистические стационарные состояния. Уравнения для их опре-
деления получают из (4.22), приравнивая нулю производные
=µ+µ+λ−λ=
µ+λ−=
+−
K,2,1,)(0
;0
11
10
nPPP
PP
nnn
(4.24)
Эти уравнения называют уравнениями в конечных разностях.
Можно показать, что при ρ < 1 система массового обслуживания входит в стационарный режим,
при этом установившиеся или стационарные вероятности Р
n
, n = 0, 1, …, удовлетворяют системе урав-
нений (4.24).
Решение этой системы дает
K,1,0),1()(lim =ρ−ρ==
∞→
ntPP
n
n
t
n
(4.25)
Из (4.25) следует, что
,1
0
ρ
−
=
P т.е. (4.26)
.1
0
PP
=
−
=
ρ
(4.27)
Так как Р
0
является вероятностью отсутствия очереди,
0
1 PP
−
=
, а, следовательно, и ρ – вероятно-
стью наличия очереди. Другими словами, трафик-интенсивность ρ можно трактовать, как долю време-
ни, в течение которого прибор обслуживает требование (работает). Поэтому величина ρ = λ/µ называ-

Страницы