Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

Ряд Фурье (2.34) функции
(
)
xf может расходиться, может сходиться к
сумме
(
)
xS , не совпадающей с
(
)
xf . Поэтому в общем случае говорят, что
функция
(
)
xf порождает ряд Фурье, и пишут
() ( )
∑
++
∞
=1n
nn
0
nxsinbnxcosa
2
a
~xf .
Укажем достаточные условия представимости функции
(
)
xf рядом
Фурье.
Теорема 2.14 (Дирихле). Если
π
2
-периодическая функция
(
)
xf
кусочно непрерывна и имеет кусочно непрерывную производную на отрезке
[
]
ππ− ; , то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех
точках. Сумма полученного ряда
(
)
xS равна значению функции
(
)
xf в
точках непрерывности функции. В точках разрыва функции
(
)
xf сумма ряда
равняется среднему арифметическому пределов функции
(
)
xf справа и
слева, т.е.
( )
(
)
(
)
2
0xf0xf
xS
00
0
+
+
−
= ,
0
x - точка разрыва.
Пример 2.32. Разложить в ряд Фурье функцию
()
π<<
≤<π−
=
.x0,x
,0x,0
xf
Решение. Функция
(
)
xf (рис.2.2) удовлетворяет условиям теоремы 2.14.
.
Найдем коэффициенты Фурье:

Страницы