Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

В точках разрыва функции
(
)
xf
(
)
∈π−= k,1k2x
0
Z, сумма ряда равна
среднему арифметическому её пределов справа и слева, т.е.
2
π
.
Ответ:
()
+
++
π
−
π
= ...
3
x3cos
1
xcos2
4
xf
22
−+−+ ...
3
x3sin
2
x2sin
1
xsin
.
Замечание. При вычислении коэффициентов Фурье можно заменить
промежуток интегрирования
[
]
ππ− ; промежутком
(
)
π+ 2c,с , получим
формулы
()
dxxf
1
a
2c
c
0
∫
π
=
π+
,
()
nxdxcosxf
1
a
2c
c
n
∫
π
=
π+
,
()
nxdxsinxf
1
b
2c
c
n
∫
π
=
π+
, с – любое число.
Рассмотрим частные случаи для функции
(
)
xf .
1. Если функция
(
)
xf четная, то произведение
(
)
nxsinxf ⋅ является
нечетной функцией, а
(
)
nxcosxf ⋅ - четной. Тогда
() ()
dxxf
2
dxxf
1
a
0
0
∫
π
=
∫
π
=
ππ
π−
,
() ()
nxdxcosxf
2
nxdxcosxf
1
a
0
n
∫
π
=
∫
π
=
ππ
π−
,
()
0nxdxsinxf
1
b
n
=
∫
π
=
π
π−
и
()
∑
+
∞
=1n
n
0
nxcosa
2
a
~xf .
Ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы».
2. Если функция
(
)
xf нечетная, то произведение
(
)
nxsinxf ⋅ будет
четной функцией, а
(
)
nxcosxf ⋅ - нечетной функцией. Имеем

Страницы