Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

(
)
(
)
0dyxyxdx1yxy
22
=++−+ .
Решение. В уравнении
(
)
1yxyy,xP
2
−+= ,
(
)
xyxy,xQ
2
+= и
x
Q
1xy2
y
P
∂
∂
=+=
∂
∂
,
следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем функцию
(
)
y,xu такую, что
(
)
(
)
(
)
0dyy,xQdxy,xPy,xdu =+= . Имеем, 1yxy
x
u
2
−+=
∂
∂
,
xyx
y
u
2
+=
∂
∂
. Проинтегрируем первое соотношение по переменной x
( )
(
)
() ()
yxyx
2
yx
ydx1yxyyx,u
22
x
0
2
ϕ+−+=ϕ+
∫
−+= ,
полученное тождество
( ) ()
yxyx
2
yx
yx,u
22
ϕ+−+=
продифференцируем по y:
()
xyxyxyx
y
22
+=ϕ
′
++=
∂
ϕ
∂
. Получим
(
)
0y =ϕ
′
или
(
)
c
~
y =ϕ ,
Rc
~
∈
. Тогда
( )
cxyx
2
yx
y,xu
22
+−+= и общий интеграл исходного
дифференциального уравнения cxyx
2
yx
22
=−+ .
Ответ: cxyx
2
yx
22
=−+ ,
Rc
∈
.
1.2.9. Задачи для самостоятельной работы

Страницы