Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

тождество (на промежутке существования производных функции y до n-го
порядка включительно).
Определение 1.15. Общим решением уравнения (1.21) называется
функция
(
)
n21
c,...,c,cx,yy = , зависящая от n произвольных постоянных
n21
c,...,c,c , удовлетворяющая следующим условиям:
1)
(
)
n21
c,...,c,cx,yy = является решением уравнения (1.21) при
любых допустимых значениях
n21
c,...,c,c ;
2) для любых условий
(
)
00
yxy = ,
(
)
00
yxy
′
=
′
,…,
(
)
(
)
(
)
1n
00
1-n
yxy
−
= , (1.22)
называемых начальными, существуют значения
0
11
сс = ,
0
22
сс = ,…,
0
nn
сс =
такие, что функция
(
)
0
n
0
1
c,...,cx,yy = удовлетворяет этим
начальным условиям.
Определение 1.16. Любая функция
(
)
0
n
0
1
c,...,cx,yy = , получающаяся
из общего решения уравнения (1.21) при конкретных значениях постоянных
n21
c,...,c,c , называется частным решением этого уравнения.
Задача Коши – задача нахождения частного решения уравнения (1.21),
удовлетворяющего заданным начальным условиям (1.22). Для
дифференциальных уравнений высших порядков имеет место теорема
существования и единственности решения задачи Коши, аналогичная теореме
1.1.
Теорема 1.2. Пусть дано дифференциальное уравнение (1.21), где
функция
(
)
(
)
1-n
y,...,yy,x,f
′
является непрерывной в некоторой
окрестности точки
(
)
1n
0000
y,...,y,y,xM
−
′
, частные производные
y
f
∂
∂
,
y
f
′
∂
∂
,…,
( )
1n
y
f
−
∂
∂
ограничены в этой окрестности. Тогда существует число
0h
>
такое, что на интервале
(
)
hx,hx
00
+− существует единственное
решение
(
)
xyy = уравнения (1.21), удовлетворяющее начальным условиям
(1.22).

Страницы