Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

Для понижения порядка используется замена
(
)
(
)
xzy
k
= . Тогда
(
)
(
)
xzy
1k
′
=
+
,…,
(
)
(
)
(
)
xzy
knn −
= , получим дифференциальное
уравнение
(
)
(
)
0z,...,z,z,xF
kn
=
′
−
порядка
(
)
kn − .
Пример 1.17. Найти общее решение дифференциального уравнения
1xyyx
+
=
′
′
+
′
′
′
. (1.23)
Решение. В уравнении (1.23) не содержится
y
и y
′
, поэтому применим
замену
(
)
xzy =
′
′
, zy
′
=
′
′
′
. Уравнение (1.23) будет равносильно уравнению
x
1x
x
z
z
+
=+
′
(1.24)
при
0x
≠
. Уравнение (1.24) является линейным неоднородным, по методу
Бернулли его решение представим
v
u
⋅
=
,
vuvuz
′
+
′
=
′
.
Тогда получим
x
1x
x
uv
vuvu
+
=+
′
+
′
,
x
1x
vu
x
u
uv
+
=
′
+
+
′
.
Уравнение 0
x
u
u =+
′
имеет частное решение
xeeu
xln
dx
x
1
===
∫
, значит,
x
1x
vx0v
+
=
′
⋅+⋅ ,
откуда
2
x
1x
v
+
=
′
, c
x
1
xlndx
x
1x
v
2
+
−
+=
∫
+
= .
Общее решение уравнения (1.24) имеет вид
cx1xlnxvuz +−=⋅= .
Выполняя обратную замену zy
=
′
′
, получаем

Страницы