Дифференциальные уравнения. Ряды. Богатова С.В. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

1.3.2. Дифференциальные уравнения,
допускающие понижение порядка
В некоторых частных случаях удается понизить максимальный порядок
производной, входящей в дифференциальное уравнение, и свести уравнение к
более простому виду. Рассмотрим эти случаи.
1. Уравнение вида
(
)
(
)
xfy
n
= .
После интегрирования порядок этого уравнения понижается на единицу
(
)
(
)
1
1n
cdxxfy +
∫
=
−
, Rc
1
∈ . Далее
(
)
(
)
(
)
21
2n
cdxcdxxfy +
∫
+
∫
=
−
,… .
В итоге
(
[
() )
]
( ) ( )
n
2n
2
1n
1
n
c...
!2n
x
c
!1n
x
cdxdxxf...y ++
−
+
−
+
∫ ∫
=
−−
321
,
где
n21
c,...,c,c – произвольные постоянные.
Пример 1.16. Найти частное решение уравнения xsiny
=
′
′
,
удовлетворяющее условиям
(
)
10y = ,
(
)
00y =
′
.
Решение. Дважды интегрируем уравнение:
11
cxcoscxdxsiny +−=+
∫
=
′
,
(
)
2121
cxcxsincdxcxcosy ++−=+
∫
+−= .
Так как
(
)
10y = ,
(
)
00y =
′
, то имеем систему
=
=+−
,1c
,0c1
2
1
откуда
1c
1
= , 1c
2
= . Частное решение 1xxsiny
+
+
−
=
.
Ответ: 1xxsiny
+
+
−
=
.
2. Уравнение вида
(
)
(
)
(
)
(
)
0y,...,y,y,xF
n1kk
=
+
, явно не
содержащее
(
)
1k
y,...,y,y
−
′
,
1
k
≥
.

Страницы