Учебное пособие по высшей математике. Богинич А.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УГМУ | Екатеринбург

Составители: 

Рубрика: 

12
Задание 1. Найти производные функций:
§ 7. Производная сложной функции
Сложной функцией
называется функция от функции. Пусть у=ƒ(z) и
z=φ(x), Здесь х – независимая переменная, z – промежуточная функция
аргумента х и одновременно аргумент функции у, т.е.
[
]
)(хfy
ϕ
=
.
Сложная функция дифференцируется по так называемому правилу цепочки:
Производная сложной функции равна произведению производной по
промежуточной функции на производную промежуточной функции по
независимому аргументу:
xzx
zyy
′
′
=
′
ПРИМЕР 1.
)1sin(4
2
+= xy
РЕШЕНИЕ: Данную функцию можно представить в виде у =4sin z, где z=x
2
+ 1.
По правилу нахождения производной сложной функции и формулам (17), (7),
(15) и (2)
xzxzy
xz
2)cos(4)1()(sin4
2
=
′
+
′
=
′
или
)1cos(8
2
+=
′
xхy
ПРИМЕР 2.
ctgxxy −=
РЕШЕНИЕ: Освободимся от корня:
()
2
1
ctgxxy −=
. Данную функцию можно
представить в виде
2
1
zy =
, где z = (х – ctgx). По правилу нахождения
производной сложной функции и формулам (2), (10), и (15):
)
sin
1
1(
2
1
)
sin
1
1(
2
1
)()(
22
2
1
2
1
x
ctgxx
x
zctgxxzy
xz
+
−
=+=
′
−
′
=
′
−
.
1.
4
5xy =
2.
123
3
+−= xxy
3.
x
xx
y +−=
3
2
5
35
4.
7
723
x
ba
x
ba
x
y −
−
−
+
=
5.
xxy 63
3
−=
6.
32
1111
xx
x
x
y +−+=
7.
xxy sin−=
8.
tgxxy −=
2
9.
xxy cos
2
=
10.
ctgxey
x
⋅=
11.
2
x
сosx
y =
12.
1
2
2
+
=
x
x
y
13.
xxy sinln ⋅=
14.
x
a
y
x
=
15.
x
xx
y
2
cosln
=

Страницы