ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
41
44.
dx
x
x
∫
−
4
6
2
sin
1
cos
π
π
45.
dxx )34(
12
2
3
−
∫
46.
dxx
∫
9
4
47.
∫
−
+
1
1
2
)1( dxx
Замена переменных в определенных интегралах
Часто для упрощения вычисления интеграла
∫
b
a
dxxf )(
приходиться заменять
независимую переменную величину
x
, полагая, что
)(
t
x
ϕ
=
или
)(xt
ϕ
=
. Это
приводит к формуле преобразования определенного интеграла при введении
новой переменной
[]
∫∫∫
=
′
=
1
2
2
1
)()()()(
t
t
b
a
t
t
dttFdtttfdxxf
ϕϕ
Важно отметить, что замена переменной в определенном интеграле
приводит в общем случае к интегралу с новыми пределами интегрирования. Для
того, чтобы найти новые пределы интегрирования, необходимо подставить в
заменяемое выражение сначала нижний предел a заданного интеграла и решить
полученное уравнение: )(
t
a
ϕ
= . Значение
1
t
, найденное из него, и будет новым
нижним пределом. Затем для определения нового верхнего предела в )(
t
x
ϕ
=
подставляется верхний предел b заданного интеграла и решается уравнение
)(
t
b
ϕ
= . Найденное из этого уравнения значение
2
t
будет новым верхним
пределом. Сделав замену переменной, изменив пределы интегрирования, после
вычисления преобразованного определенного интеграла нет необходимости
переходить к старой переменной, как это мы делали при вычислении
неопределенного интеграла с помощью замены переменной.
ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл I=
dxхх
∫
+
1
0
2
1
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
