Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы. Бондаренко А.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

18 19
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Для предельного значения при t → ∞ найдем
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
.0/1limlim
1
=−=∞=
→
∗∗
∞→
zXzzxtx
zt
Начальное значение составляет
( ) ( )
,1limlim
0
==
∞→
∗
→
zXtx
zt
что очевидно и из исходного сигнала.
Для полноты рассмотрения данного вопроса отметим, что при
произвольном аналоговом сигнале с известным изображением по Лап-
ласу согласно
( ) ( )
sXtx
÷
следует быть осторожным при определении
Z-преобразования:
( ){ }
{ }
( ) ( ) ( )
∑∑∑
=
=
=
−−
i
i
i
i
i
i
zZtxZsXLZsXLZ
11
. (1.25)
 (1.25)
X
i
(s) – изображение i-элементарной функции. Необходи-
мость предварительного нахождения X
i
(s) обусловлена тем, что в об-
щем случае при Z-преобразовании имеет место неравенство
( ) ( ) ( ) ( )
sXsXsXsX
n
...
21
=
;
( ){ }
{ }
( ) ( ) ( ) ( )
,...
21
1
zXzXzXsXsXLZ
n
=≠
−
что и подтверждается простейшими примерами.
Возьмем для простоты изображение двух функций – единичной
ступенчатой и экспоненциальной. Рассмотрим соотношения:
α+÷δ÷δα+=
α
stestsssX /1 ;/1 ;/1
1
t–
1
.
Ответ, полученный с учетом (1.18) и (1.19), составляет
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
[ ]
,1/
;/ ;1/
2
21
21
t
t
ezzzzXzXzX
ezzzXzzzX
α−
α−
−−==
−=−=
что в данном случае оказывается неверным, поскольку необходимо было
бы выполнить следующие процедуры согласно (1.25):
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( )
./1/1
//1//1
1
111
t
i
i
et
ssLsXLsXL
α−
−−−
α−δα=
=α+α−α=
=
∑
Теперь осуществим Z-преобразование (на основе свойств линей-
ности):
( ) ( ) ( )
{ }
( ) ( ){ } ( )
{ }
( )
( )
[ ]
( )
( )
,2/1/1/
/1/1/1/1
11
zXBzeezzzz
eZtZetZ
TT
tt
=−=−α−−α=
=α−δα=α−δα
α−α−
α−α−
что является правильным результатом, отличающимся от X(z), причем
( )
( )
T
ezzB
α−
−−α= 12
.
Пример 1.8
Определить Z-изображения затухающих синусоиды и косинусоиды:
( ) ( )
.cos ;0 ,sin
t
2
t
1
tetxtetx ω=>αω=
α−α−
Согласно (1.19) и (1.21) найдем после сокращения на экспоненту
( ){ }
,4/sin3/sin
T
1
BTzBTzetxZ ω=ω=
α−
(1.26)
а из (1.19) и (1.22) установим следующее соотношение:
( ){ }
( )
,5/cos Z
t2
2
BTzeztx ω−=
α−
(1.27)
где
.cos25
;cos24
;1cos23
22
2
22
TT
TT
TT
eTzezB
eTzzeB
TzezeB
α−α−
α−α
αα
+ω−=
+ω−=
+ω−=
В основе получения затухающих функций с нулевой начальной
фазой лежат (1.26) и (1.27).
5. Теорема дифференцирования в z-области или умножения вре-
менных функций на параметр n.
Исходя из пары преобразований в s-области:
( ) ( )
,/ dssdXttx
=−
перейдем к дискретному времени, полагая T = 1. В этом случае
( ) ( )
[ ] [ ]
( )
[ ]
.////
1
dzsdXZdsdzdzzdXdsdXsnnX
ze
T
sT
===−
=
=
(1.28)
Отсюда вывод: умножение на (–n) соответствует дифференциро-
ванию X(z) в z-области.
Пример 1.9
Пусть надо найти изображение сигнала
( )
2
ttx =
. Ранее из (1.20)
было получено при T = 1
Глава 1. Дискретные сигналы и их представление

Страницы