Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы. Бондаренко А.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

16 17
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Аналогично получим (при умножении на z
–2
обеих частей)
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
TxzTxxzXz
z
20lim
1
0
2
=−−
−
→
.
и т. д. Отсюда вытекает полезная рекурсивная методика получения
обратных Z-преобразований.
Теорема о конечном значении функции утверждает, что
( )
( )
( )
,1limlim
1
1
zXztx
zt
−
→
∗
∞→
−=
где также предполагается существование предела при отсутствии по-
люсов на окружности единичного радиуса в z-области.
Для обоснования этого соотношения рассмотрим Z-преобразова-
ние от разности функции
( )
[ ]
( )
kTxTkx −+1
с учетом (1.16):
( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
.zkTxzTkxzxzXz
zXxzXzkTxTkxZ
kk
kk
∑∑
∞
=
∞
=
−−
−+=−−=
=−−=−+
00
)(101
0}1{
Исследуем правую и левую части при z → 1, k → ∞. При этом
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( ) ( )
,0
1lim01lim
0
1
xx
kTxTkxzxzXz
N
k
Nz
−∞=
=−+=−−
∑
=
∞→→
т. е.
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
.lim/1li m
1
txxzXzz
tz
∗
∞→→
=∞=−
Приведем ряд иллюстративных примеров определения Z-преоб-
разований некоторых распространенных функций времени.
Пример 1.3
Найдем изображение
( )
kT
1
δ
на рис. 1.5, а:
1/1/1...1}{
121
−=−=+++==
−−−
zzzzzzZtxZ
.
Если употребить знак соответствия t- и z-областей, то
( ) ( )
1/
1
−÷δ zzt
. (1.18)
Пример 1.4
Найти изображение затухающей экспоненты
( ) ( )
0,
1
≥αδ=
α−
tetx
t
.
На основании теоремы об изменении масштаба и (1.18) получим:
( )
( ) ( )
( )
txezzzezezX
TTT
÷−=−=
α−αα
/1/
. (1.19)
В частности, при
tt
e α=
α−
и
( ) ( )
( )
Tt
zzttx α−÷δα= /
1
.
Если продифференцировать обе части (1.19) по параметру α, то
( )
,/
2
TTt
ezTzete
α−α−α−
−−÷−
что при α → 0 приведет к соотношению
( )
.1/
2
−÷ zzTt
(1.20)
Пример 1.5
Определить Z-преобразование для функции синуса и косинуса
при t
≥ 0.
Поскольку
{ } { }
tjtj
eReteImt
ωω
=ω=ω cos,sin
,
то для косинуса получим
{ } { }
( )
. 1cos2/)cos(
)sincos/(cos
2
+ω−ω−=
=ω−ω−=ω
TzzTzz
TjTzzReTZ
(1.22)
Найдем Z-преобразования гармонических функций с ненулевы-
ми начальными фазами.
Пример 1.6
Определить Z-преобразования для следующей функции:
{ } { }
)()(
)cos( ;)sin(
ψ+ωψ+ω
=ψ+ω=ψ+ω
tjtj
eReteImt
.
С учетом результатов (1.19) и (1.20) можно установить, что
( )
[ ]
;/sin)cos(sincos)sin(
1
BTzzTtt
ψω−+ωψ=δψ+ω
(1.23)
( )
[ ]
,/sinsincos)cos()cos(
1
BTzTzztt
ψω−ψω−=δψ+ω
(1.24)
где
1cos2
2
+ω−= TzzВ
.
Естественно, что при ψ = 0 выражение (1.23) сводится к (1.21),
а при ψ = π/2 – к (1.22). Аналогичные выводы следуют и из (1.24) при
ψ = 0 и ψ = π/2.
Пример 1.7
Применить выводы для предельных теорем к сигналу, рассмот-
ренному в примере 1.4.
Глава 1. Дискретные сигналы и их представление

Страницы