Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы. Бондаренко А.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

14 15
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
в) Коммутация начинается при t = 0 и сдвиге функции по оси вре-
мени влево, т. е. при m = k + n, k = m – n:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
.zmTxzzXzzmTxzmTxz
zmTxzzmTx
znTkTxnTtxtZ
n
m
mnn
m
n
m
mmn
knm
mnnm
k
k
∑∑∑
∑∑
∑
−
=
−
∞
=
−
=
−−
∞
=
∞
=
−−−
∞
=
−
−=
−=
===
=+=+
1
00
1
0
0
)(
0
1
)(
}{δ
(1.16)
Заметим, что из рассмотренных трех случаев ((1.14)–(1.16)) ком-
мутации ответ не содержит дополнительных членов лишь для (1.15).
3. Теорема об изменении масштаба времени.
Умножим переменный сигнал x(t) на экспоненту
t
e
α
, где a – неко-
торый коэффициент. Тогда согласно (1.12) получим
( )
( ) ( )
,)(})({
00
zеXzеkTxzekTxtxеZ
T
k
k
T
k
kkTt α
∞
=
−
α
∞
=
−αα
∑∑
==⋅=
т. е. переменная z умножается на
T
e
α
.
4. Предельные теоремы.
Как и для случаев преобразований Лапласа, здесь могут быть рас-
смотрены две важные теоремы: о начальном и конечном значениях
функции.
Для теоремы о начальном значении найдем
( ) ( )
zXtx
zt ∞→
∗
→
= limlim
0
(1.17)
при условии существования такого предела. Доказательство справед-
ливости (1.17) непосредственно следует из рассмотрения ряда (1.12)
при z
→ ∞. Из (1.11) видно, что
( ) ( ) ( ) ( )
...20
21
+++=
−−
zTxzTxxzX
Перенесем первый член правой части влево и умножим на z, тогда
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
...,20
1
++=−
−
zTxTxxzXz
т. е.
.0lim
0
TxxzXz
z
=−
→
k
y
k
x
5
3
z
–1
Рис. 1.9
2. Рассмотрим возможные случаи смещения во временной обла-
сти: следует различать три частных случая начала коммутации для фун-
кции
( )
nTtx
−
:
а) Коммутация начинается при t = 0, тогда согласно (1.11)
( ) ( ){ } ( )
∑
∞
=
−
−=δ−
0
1
k
k
znTkTxtnTtxZ
.
Для удобства дальнейшего рассмотрения введем новую перемен-
ную m = k – n, причем k = m + n, тогда
( )
( )
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
∑∑
∑
∑
==
−−−
∞
=
−−+−
+−−−
−
∞
=
+−
−+=−+
+=++
+++++−+
++−+−=
n
p
p
n
p
nnpn
m
mnn
nn
m
nm
.zpTxzX(z)zzpTxz
zmTxz...zTx
zTxzx...zTnx
zTnxznTxzmTx
11
0
2
12
10
0
2
02
1
Заметим, что во второй сумме (1.14) введен новый, не имеющий
существенного значения индекс суммирования р.
б) Коммутация начинается при t = nT, тогда
( ) ( ){ } ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
.
...20
0
21
0
1
zXzzkTxz
zTxzTxzx
znTkTxnTtxnTtZ
nk
k
n
nnn
nk
k
k
−−
∞
=
−
+−+−−
≥
−
∞
=
==
=+++=
=−=−−δ
∑
∑
(1.15)
(1.14)
Глава 1. Дискретные сигналы и их представление

Страницы