Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы. Бондаренко А.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

38 39
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Для нахождении некоторого
n
a
умножим обе части равенства на
1−n
z
, тогда
( )
......
13
2
2
1
1
0
1
+++++=
−−−−−
zazazazazXz
n
nnnn
Проинтегрируем это выражение по контуру, охватывающему все
особые точки. Тогда можно показать, что на основании теорем по ин-
тегрированию функций в комплексной плоскости [1]
( )
( )
.2/
;1,2
;1,0
1
1
jdzzXza
naj
n
dzzXz
e
n
n
n
e
n
π=
−=π
≠
=
∫
∫
−
−
(2.13)
Интеграл в (2.13) можно рассчитать по теореме о вычетах, причем
( ) ( )
.
1−
=
∑
==
n
i
zz
n
zzXsnXa
i
Re
Если
( )
zX
– дробно-рациональная функция переменной z, тоо
( ) ( ) ( )
zDzNzX /
=
, и любой вычет может быть определен по формуле
,//
iiZZi
zz
zDzNzDzNzzzXs
i
i
′
=−=
=
=
Re
тогда
( ) ( )
[ ]
./
1
∑
′
=
−
i
i
n
iin
zDzzNa
(2.14)
Обратное Z-преобразование с учетом (2.14) имеет следующий вид:
( ) ( ) ( )
[ ]
∑
′
=
−
i
i
n
ii
zDzzNnZ ./
1
(2.15)
Для полноты рассмотрения установим связь также между обычным
и дискретным модифицированным преобразованиями Лапласа, т. е.
( ) ( ){ } ( ) ( )
λ=λ=
∗∗
,,; txLsXtxLsX
.
Из (1.7)–(1.10) и (2.8) следует, что
( ) ( ) ( ) ( )
λ+δ=λ+=λ
∗
∞
=
−
∗
∑
txtLekTxsX
k
skT
1
0
,
.
Но поскольку
( )
( )
( ){ } ( )
,;1/
1
sXetxLeetL
ssTsT λ
∗
=λ++−=
δ
то, применяя интеграл свертки в частотной области, получим
( ) ( )
( ) ( )
( )
[ ]
( )
( ) ( )
( )
[ ]
{ }
∫
∫
∞+
∞−
−−λ
∞+
∞−
λ−−
∗
+−π=
=+−π=λ
jc
jc
Tpsp
jc
jc
pTpsTps
dpeepXj
dppXeeejsX
.1/2/1
1/2/1,
(2.16)
На основании теоремы вычетов и (2.16) получим
( ) ( ) ( )
( )
[ ]
∑
+−
′
=λ
λ
∗
i
Ts
i
s
i
zezDesNzsX
ii
/,
.
Далее определим X(s) по X(z, λ). С учетом (2.8)
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
.
0
1
0
1
0
λλ−=
===
λ−−
∞
=
+
−
∞
=
+
∞
−
∑
∫
∑
∫∫
dektx
dtetxdtetxsX
kTs
k
Tk
kT
st
k
Tk
kT
st
(2.17)
В (2.17) изменим последовательность операций суммирования
и интегрирования, тогда
( ) ( )
( ) ( )
.,
/
0
0
sXdzzX
eekTxsX
sT
eZ
T
T
sskT
=λλ=
=λ+=
=
λ−
∞
λ−−
∫
∫
(2.18)
Проиллюстрируем сказанное примером.
Пример 2.9
Определить изображение по Лапласу для результатов примера 2.5:
( )
( )
./,
T
ezzezX
α−αλ−
−=λ
Глава 2. Основные преобразования в z- и l-областях

Страницы