Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы. Бондаренко А.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

50 51
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
Глава 3. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ДИСКРЕТНЫХ
И АНАЛОГО-ДИСКРЕТНЫХ ЦЕПЕЙ
3.1. Разностное уравнение и системные функции
В предыдущем параграфе введено понятие «разности». Рассмот-
рим эту проблему детальнее. Поскольку первая разность составляет
( ) ( ) ( )
[ ]
,1
1−
−=−−=∆
nn
xxTnxnTxnTx
где
( ) { }
,2;0
211
2
−−−
+−=∆−∆=∆∆=∆+=
nnnnnn
xxxxxxx nTxx
то разностное уравнение m-порядка имеет следующий вид:
( )
,,...,,,,
12
nxxxxfx
n
m
nnn
m −
∆∆∆=∆
или, в иной форме записи,
( )
.,,...,,,
21
nxxxxgx
mnnnnn −−−
=
(3.1)
Представленные уравнения могут быть решены при известных
начальных условиях:
1210
...,,,,
−m
xxxx
. При описании цепей с помощью
той или иной формы разностных уравнений получим (считая x(t) воз-
буждением, а y(t) – реакцией системы)
,...
2
2100 n
m
m
xyayayaya =∆++∆+∆+
где, как и выше,
,
1−
−=∆
nn
yyy
а
i
– вещественные коэффициенты
mi ,0=
. Выполняя замену соответствующих разностей, можно
получить
....
22110 nmnmnnn
xybybybyb
=++++
−−−
Если сдвинуть рассмотрение процессов на m тактов, то
....
110 nnmmnmn
xybybyb
+−+
(3.2)
Из (3.2), перенося все слагаемые (кроме первого) левой части
в правую, легко получить рекуррентную формулу:
( )
....
22110 nmmnmnnmn
ybybybxyb
+++−=
+−+−+
(3.3)
Если, в частности, принять n = 0, то по первым значениям
110
,,
−m
yyy
можно определить
m
y
, а затем, полагая n = 1, найти
1+m
y
и т. д.
Применим Z-преобразование к (3.2), тогда для любого члена
qm
y
+
;
_____
,0 mq =
, с учетом (1.16) получим
{ }
( )
( )
( )
[ ]
....,,
1
1
2
2
1
10
0
1
0
0
−−
+
−−
∞
=
−
=
−−
∞
=
−
∞
=
−−
∞
=
−
++
−−−=
=
−=
====
∑∑
∑∑∑
p
q
q
p
q
p
p
p
p
p
q
qp
p
p
q
qp
qp
p
n
n
qnqn
zyzyzyyzYz
zyzyz
zyzzyzyyZ
Подставим полученное соотношение в (3.3):
( )
( ) ( )
( )
( )
.......
......
01
1
0
3
3
2
21
0
2
210
1
10
zbyzbzbzby
zbzbzbyzXzYbzbzb
m
m
mm
m
mmm
mm
−
−
−−
−−
−
++++++
+++++=+++
Большой интерес представляют встречающиеся относительно часто
уравнения при m = 2, т. е.
( )
( ) ( )
( )
zbyzbzbyzXzYbzbzb
01
2
01021
2
0
+++=++
или
() ()
()
[ ][ ]
.
21
2
001
2
010
bzbzbzbyzbzbyzXzY +++++=
Здесь корни знаменателя составляют при
( )
0//
0201
2
=++ bbzbbz
( )
( )
( )
./4/2/
02
2
0
2
1012,1
bbbbbb −±−=λ
В зависимости от знака дискриминанта (как и в случае диффе-
ренциального уравнения второго порядка) возможны три варианта.
Итак,
( ) ( ) ( )( )
[ ]
( )
[ ]
( )( )
{ }
( ) ( )( ) ( ) ( )
,/
/
2211210
21001
2
010
210
λ−+λ−+λ−λ−=
=λ−λ−+++
+λ−λ−=
zzAzzAzzbzX
zzbzbyzbzby
zzbzXzY
где вычеты
( ) ( ) ( )
./;/
121012212011
λ−λλ−=λ−λλ−= yyAyyA
Переходя во временную область с учетом (1.19), получим
Глава 3. Методы анализа дискретных и аналого-дискретных цепей

Страницы