Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы. Бондаренко А.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

52 53
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
( ) ( )( ){ }
./
2211210
1 nn
n
AAzzbzXZy λ+λ+λ−λ−=
−
(3.4)
Рассмотрим варианты различных корней характеристического
уравнения
1
λ
и
2
λ
, положив первый член равным
n
f
.
1. При
021
2 bbb <
для корней получим комплексно-сопряженную
пару:
α
=λ
j
Me
1
и
α−
=λ
j
Me
2
, где М – модуль, α – аргумент. Тогдада
из (3.4) получим
( ) ( )
( ) ( )
./,
–/,
01
01
α−αα−α
α−ααα
−−−
−−+=
jjnjnj
jjnjnj
nn
eeMeMyMey
eeMeMyMeyfy
Далее, выполнив перегруппировку членов, содержащих y
1
и y
0
,
найдем
( ) ( )
( ) ( )
./
–
11
0
1
1
α−α−α−−α
α−αα−α−
−−−
−−+=
jjnjnjn
jjnjnjn
nn
eeeeMy
eeeeMyfy
C учетом формулы Эйлера получим:
( ) ( )
[ ]
.sin1sinsin/sin
0
1
1
α−−αα+=
−
nMynMyfy
nn
nn
(3.5)
2. Полагая в (3.5)
α=β j
, найдем результат для вещественных (раз-
личных) корней с учетом
( )
β−=β−=α shsinsin jj
:
[ ]
( )
./1/
0
1
1
ββ−−ββ+=
−
shshshsh nMynMyfy
nn
nn
(3.6)
3. В случае одинаковых (равных друг другу) корней выполним
в (3.6) предельный переход
.,0,2/
0121
β=β→β==λ−λ
β
nnFebb sh
В результате получим
( )
.1
0
1
1
nn
nn
MnynMyfy −−+=
−
(3.7)
Пример 3.1
Определить токи и напряжения цепи, показанной на рис. 3.1, а.
На рис. 3.1, б выделен отдельный четырехполюсник. Из рисунка сле-
дует, что
( ) ( )
,
111111 kkkkkkkk
GUUUGUUGiii
=−−−=−=
−+−+
где
./1;/1
11
RGRG
==
Перегруппируем члены, тогда
( )
.0/2
111
=++−
−+ kkk
uuGGu
+
–
U
10
R
1
R
1
R
1
R
1
R
R
U
2
+
–
а)
–
–
+
+
u
k–1
i
k+1
i
k–1
i
k
u
k+1
R
1
R
1
R
б)
Рис. 3.1
На границах системы имеем следующие условия:
.,
2010
UuUu
n
==
Корни характеристического уравнения
( )
01/2
1
2
=+λ+−λ GG
составляют:
]./41[2/1
2112,1
GGGG ±+=λ
Из соотношения (3.4) при
x(t) = 0 можно получить
( )
( )
[ ]
( )
( )
[ ]
./ /
212112021211
λ−λλλ−λλ−λ−λλ−λ=
nnnn
n
yyy
При n = 1 y
1
= u
2
, при k = n – 2 и k + 2 = n y
n
= U
10
, т. е. с учетом (3.6)
и (3.7) найдем
()
()
[]
()
()
[]
,/ /
21211202121210
λ−λλλ−λλ−λ−λλ−λ=
nnnn
yuU
откуда после дополнительных преобразований установим, что
( )
( )
[ ]
( )
( )
( ) ( )
[ ]
( )
( )
.//
//
211221102112212
21122110212120
nnnnnn
nnnn
Uu
Uuy
λλ−λλλ−λ−λλ−λλλ−λ=
=λλ−λλλ−λ−λ−λλ−λ=
Из предшествующих уравнений несложно установить, что для
любого k = n
( )
( )
( )( ) ( )
( )
{ }
( ) ( )
./
2112211210
21211221122121212
nnkk
nnkknnkk
kk
U
u
yu
λλ−λλλλ−λλ+
+λ−λλλ−λλλλ−λλλ−λ+λ−λλ−λ=
==
Глава 3. Методы анализа дискретных и аналого-дискретных цепей

Страницы