Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы. Бондаренко А.В - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

60 61
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
откуда
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
,1/01/ −+−= zzyzzTXzY
что отвечает функциональной схеме (рис. 3.4).
1
(0)
−z
z
y
Y(z)
X(z)
1−z
T
+
Рис. 3.4
Сравнение первого уравнения (для Y(s)) и последнего (для Y(z))
позволяет заключить, что в z-область можно перейти из s-области (при
нулевых начальных условиях), выполняя замену
( )
( )
,/1/1
11 −−
−=−= TzzTzs
причем z = 1 + Ts – так называемая прямая разность.
2. Обратный метод Эйлера приведет к
( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( )
TtxTtyTtytydtd +=−+≅ //
или
( ) ( ) ( )
11
+=−+
nTxnyny
.
Перейдем в z-область:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
,00 TzxzTzXzYzyzzY
−=−−
откуда получим
.1/001/
zTxyzzzTzXzY
Функциональная система интегратора представлена на рис. 3.5.
При y(0) = x(0) = 0 переход из s-области в z-область выполняется
путем замены
( )
( )
TzTzzs /1/1
1−
−=−=
, являющейся разностью, или
z = 1/(1 – sT).
3. При использовании метода трапеций:
( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
,2/// txTtxTtyTtytydtd
++=−+=
откуда
[ ]
2/
11 nnnn
xxTyy
+=−
++
.
[]
(0)(0)
1
Tx
z
z
−
−
y
Y(z)
X(z)
1−z
zT
+
Рис. 3.5
В z-области получим
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( )
,1/2/0012/1
−−+−+=
zTxyzzzXzTzY
причем функциональная схема аналогична показанным на рис. 3.4
и 3.5. При y(0) = x(0) = 0 s- и z-области связаны преобразованиями
( ) ( )
[ ] [ ]
2/1/2/1;1/12 sTsTzzTzs
−+=+−=
– билинейное преобразование.
4. Обратимся к методу Симпсона:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
,3/1044
10
22
22
xzzXzzxzzXzXT
zYzyyzzYz
−+−+=
=−−−
откуда
( )
( )
( )
[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
{ }
( )
.13/10410
1341
2
22
−++−++
+−++=
zxxzTyzyz
zzXzzTsY
При выполнении условия y(0) = x(0) = y(1) = x(1) = 0 переход из s-
области в z-область можно выполнить при замене:
( ) ( )
.14/13
22
++−= zzTzs
Рассмотрим подробнее области взаимных преобразований на ком-
плексных плоскостях s- и z-переменных.
1. Прямая разность z = 1 + sT, s = (z – 1)/T. Примем для простоты,
что Т = 1, тогда z = 1 + s, s = z – 1. На рис. 3.6 показаны взаимные
соответствия точек A, B, C, D, E этих областей.
Так, например, точка s
1
= –0,5 попадает в точку z
1
= 0,5; точке
s
2,3
= –1 ± j соответствует z
2,3
= ± j; s
4,5
= –1,5 ± j0,5 перейдут в z
4,5
=
= –1,5 ± j0,5; точка s
6
= –2 перейдет в z
6
= –1; точка А – в z = 1. Ясно, что
Глава 3. Методы анализа дискретных и аналого-дискретных цепей

Страницы