Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы. Бондаренко А.В - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

64 65
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
3.2. Подбор динамических характеристик системной
функции, отвечающей разностным уравнениям,
и системной функции аналоговой цепи
После установления возможных способов перехода из s-области
в z-область и обратно необходимо уточнить вид разностного уравне-
ния системы с целью:
а) получения одинакового количества нулей и полюсов переда-
точных функций H(z) и H(s);
б) подбора соответствующих значений нулей и собственных час-
тот цепей;
в) получения одинаковых предельных (конечных) значений функ-
ций при t
→ ∞, z → 1;
г) получения в явном виде одной функции из другой.
Перечисленных целей можно достигнуть с помощью следующе-
го алгоритма расчета.
Алгоритм
1. По исходному дифференциальному уравнению получаем функ-
ции цепи, используя одностороннее преобразование Лапласа (как пра-
вило, с расширенным нижним пределом).
2. Вычисляются нули и полюсы найденной системной функции.
3. Определяем значения нулей и полюсов в z-области по выражениям
.;
Ts
Ts
еz еz
нул
пол
нулпол
==
4. Определяем дробно-рациональную функцию H(z) с произволь-
ной постоянной по особым точкам п. 3.
5. Определяем конечное значение H(z) при воздействии ступен-
чатой функции (как в п. 5, так и в п. 6 могут быть использованы произ-
вольные виды воздействий).
6. Находим конечное значение постоянной передачи для H(z).
7. Дополняем количество корней для H(z) с целью получения рав-
ных старших степеней полиномов числителя и знаменателя.
8. Получаем искомое разностное уравнение по H(z) из п. 8.
Покажем использование данного алгоритма на ряде примеров.
Пример 3.7
Определить разностное уравнение для системной функции звена
2-го порядка фильтра верхних частот вида
( ) ( )( )
,/
2
bsasszН ++=
где а, b – корни знаменателя, полученные из условий аппроксимации
частотных характеристик (АЧХ, ФЧХ) или совместных требований
к его характеристикам во временнóй и частотной областях.
Нули H(z):
0
21
==
нулнул
ss
. Полюсы:
bsаs
−=−=
21
;
полпол
(пункт 2
алгоритма).
Согласно пункту 3 получим
. ; ;1
2121
2,1
bТаТ
T
еzеzezz
−−
=====
полпол
нул
нулнул
По пункту 4 установим, что
( ) ( ) ( )( )
( )
( )( )
,/1
/1
2
21
2
bTaT
nn
ezezzk
zzzzzkzH
−−−=
=−−−=
где k – некоторая постоянная, которую необходимо определить.
В соответствии с п. 5 конечное значение оригинала при t
→ ∞
определится по теореме о конечном значении функции по формуле
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
.0/
;01/1/
0
1
→
→−−=
→
=
s
z
sssH
zzzzHzzXzY
Здесь первый сомножитель от предельной теоремы, третий –
функция Хевисайда. Таким образом, можно выбрать k = 1 (п. 6).
Окончательно получим (опуская п. 7):
( )
[ ]
( )
[ ]
( ) ( )
.//12
2121
22
zXzYzzzzzzzzzH =++−+−=
полполполпол
Согласно п. 9 определим разностное уравнение системы:
( )
.2
21221121 −−−−
+−=+−−
nnnnnn
xxxyz zyz zy
полполполпол
В разностном уравнении произведено смещение на 2 такта (чис-
литель и знаменатель H(z) делим на z
–2
).
Пример 3.8
Фильтр нижних частот второго порядка, требования те же:
( ) ( )( )
,/
0
bsaskzН
где k – постоянный коэффициент; (–а), (–b) – полюсы:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
[ ]
,/1/
;/;/
021211
0021
2
abkzzzzkzH
abksHzzzzkzzH
nnnnz
snn
=++−=
=−−=
→
→
откуда при
./ ,
21021
abzzkkezez
nn
bT
n
aT
n
===
−−
Глава 3. Методы анализа дискретных и аналого-дискретных цепей

Страницы