Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы. Бондаренко А.В - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

62 63
Аналого-дискретные и цифровые цепи и системы
при таком преобразовании довольно легко можно оказаться за преде-
лами единичного круга (с единичным радиусом) в z-области и попасть
в область неустойчивости при |z| > 1.
–π/4
π/4
B
C
0
–0,5
D
j
B
s
2
jω
σ
A
s
1
s
4
s
5
s
3
–0,5 0
–1
E
z
z
3
z
2
A 1
z
1
z
4
–1
z
5
z
6
Im{z}
Re{z
}
0,5
s
6
–2
–∞
s
2
z
′
3
z
′
E
–∞
Рис. 3.6
2. Обратная разница при Т = 1 дает s = (z – 1)/z; z = 1/(1 – s). При
этом точка В попадает в z = 1/(1 – j) = (1 + j)/2, точка С = –j в s-области
перейдет в z = (1 – j)/2, точка Е перейдет в начало координат, точка
D – z = 0,5 (рис. 3.7).
3
z
′
2
z
′
A
{}
zIm
C
3
z
{}
zRe
0,5
0
E
B
D
1
z
6
z
1/3
5
z
4
z
0,5
2
z
Рис. 3.7
Точка s
1
= –0,5 перейдет в точку z
1
= 2/3, точки s
2,3
= –1 ± j –
в z
2,3
= (2 + j)/5; s
4,5
– в z
4,5
= (0,3 ± j)/0,5; точка s
6
= –2 – z
6
= 1/3 и т. д.
3. Билинейное преобразование (рис. 3.8):
( ) ( ) ( ) ( )
.5,01/5,01;1/12 sszzzs −+=+−=
На нем показаны точки
.0;25/43;5/21;6,0
65,43,21
=+=+==
z jz jz z
Любопытно отметить, например, что для прямой разности при
T = 2, z = 1 + 2s и точка s
1
= –0,5 перейдет в
3,21
,0 s z =
′
– в
21
3,2
jz
±−=
′
и т. д. (см. рис. 3.6), а при обратной раз-
ности и билинейном преобразовании со-
ответствующие точки в z-плоскости бу-
дут располагаться в области устойчивой
аппроксимации (преобразования, соот-
ветствующего устойчивой системе). Одна-
ко, например, при
js
±=
1
3,2
(рис. 3.7, б)
точки окажутся в
2
3,2
jz
±=
′
(не указаны
на рис. 3.8). Так что при увеличении шага Т
легко оказаться вне области устойчи-
вости.
С другой стороны, при сокращении шага дискретизации (Т
→ 0)
получим следующие приближенные значения:
а) прямая разность:
z = 1 + Ts;
б) обратная разность:
( ) ( )
;11/11/1 TssTTssTz +≅−+=−=
в) билинейное преобразование:
( ) ( ) ( )
;12/1/12/1/2/1 TssTTssTsTz
+≅−+=−+=
4. Метод Симпсона (вывод опущен и его рекомендуется получить
самостоятельно): z = 1 + Ts. Другими словами, если частота дискрети-
зации намного выше частоты Найквиста, частотные характеристики
при любых перечисленных преобразованиях воспроизводится пример-
но с одинаковой точностью. К сожалению, при этом велики затраты
машинного времени на требуемые вычисления.
C
В
A
Im{z}
Re{z}
z
3
z
2
z
1
z
4
z
5
z
6
1
0
E
Рис. 3.8
Глава 3. Методы анализа дискретных и аналого-дискретных цепей

Страницы