Электротехника. Бондаренко А.В. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

208 209
4.4. Задача анализа электрических цепей
при установившемся гармоническом режиме
Рассмотрим простейший случай анализа.
Пример 2. Дано:

tUtu Z cos
m
(рис. 4.7), найти
ti
.
Решаем задачу с помощью дифференциального уравнения.
Рис. 4.7
По закону Кирхгофа найдем
,cos)(
)(
)(
m
tUtu
dt
tdi
LtRi Z
причем в общем виде для тока имеем

i
tIti
D
Z
cos
m
, т. е. надо найти
I
m
и D
i
. Подставим

ti
в дифференциальное уравнение и выполним
необходимые действия:
.cossincos
mmm
tUtLItRI
ii
Z DZDZ
Последующие несложные преобразования приведут к соотноше-
ниям:
>@
MDZ DZZDZ
iii
tNItLtRI cossincos
mm
>
@
,sinsincoscos
m
M
D
Z
MD
Z
ii
ttNI
т. е.
;cos R
N
M
;sin
L
N
Z M

;
2
22
LRN Z
;)(
22
LRN Z
;tg
R
LZ
M
.arctg
R
L
M
Отсюда
 
.coscos
m
2
2
m
tUtLRI
i
Z MDZZ
Сравнение амплитуд и фаз дает
22
m
m
)( LR
U
I
Z
,
R
L
i
Z
M D arctg
.
Ответ:
¸
¹
·
¨
©
§
Z
Z
Z
R
L
t
LR
U
ti arctgcos
)(
)(
22
m
.
Из примера следует, что
xнеобходимо определить амплитуды и начальные фазы реакций;
x решение во временной области для более сложных примеров бу-
дет, несомненно, затруднительным из-за громоздких преобразований
тригонометрических функций.
В силу данных причин для определения амплитуд и начальных фаз
применяют так называемый метод комплексных амплитуд, использую-
щий алгебру комплексных чисел.
В этом методе функции времени пре-
образуются в комплексные амплитуды, являющиеся функциями часто-
ты, а анализ производится не во временной, а в частотной областях. При-
ступим к изложению основных положений этого метода.
4.5. Представление гармонических функций через экспоненты
с мнимыми степенями (аргументами)
Любое комплексное число можно представить в трех формах: ал-
гебраической
, тригонометрической и показательной, т. е.
;)sin(cos
21
J
x
JJ
j
AejAjaaa
(4.5)
,)sin(cos
21
J
JJ
j
AejAjaaa

Страницы