Электротехника. Бондаренко А.В. - 192 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

378 379
В результате подстановок производных в
>
@
)(tx
получим:
> @ >@>@ >@ >@ >@
>@
>@
,...
!3!2
1)(
00
3
3
2
2
xex
t
A
t
AtAtx
tA
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
где
>@
tA
e
– матричная экспонента, матричный экспоненциал. В теории
систем она называется фундаментальной матрицей и обозначается сле-
дующим образом:
>@
.)(Ф
tA
et
В этом случае уравнение для
>@
)(tx
при нулевом входе примет обоб-
щенный вид:
>@ >@
.)(Ф)(
0
xttx
При нулевом начальном состоянии
>@>@
0
0
x
решение будем искать
в виде произведения
>@
>@
>@ >@
.)()(Ф)()( tqttqetx
tA
Итак, для некоторой пока неизвестной матрицы
>
@
)(tq
получим:
>@
>@
>
@
>@
>@>@
>@
>
@
>
@
>
@
.)()()()( tuBtqeAtqetqeA
tAtAtA
c
После сокращения одинаковых членов найдем:
>@
>@
>
@
>
@> @
>@
>
@
>
@
.)()(;)()(
'
tuBetqtuBtqe
tAtA
c
Отсюда искомая матрица
>@
)(tq
определится из выражения
>@
>@
>@> @
³
WW
W
t
A
duBetq
0
,)()(
где введена переменная интегрирования . В результате найдем решение
уравнения (8.1) при нулевом состоянии:
>@
>@ >@
>@> @
.)()(
0
³
WW
W
t
AtA
duBeetx
Полное решение будет иметь следующий вид:
>@
>@
>@
>@
>@> @
.)()(
0
)(
0
³
WW
W
t
tAtA
duBexetx
(8.3)
Для уравнения (8.2) получим
>
@
>
@
>
@
>
@
>
@
>
@
>
@
>
@
>@
>@

>@>@

>@
,)()(
)()()(
0
0
0
³
WWWG
W
t
tA
tA
dutDBeC
xeCtuDtxCty
где матрица [D] внесена под знак интеграла с учетом свойства выборки
сингулярной функции
)(
0
t
G
(о семействе сингулярных функций
см. в учебниках по ТОЭ). Если начальные условия нулевые, то получим
одну из возможных форм интеграла наложения:
>@

>@>@
,)()(
0
0
³
WWW
t
duthty
откуда легко получить выражение для импульсной характеристики:
>
@
>
@
>
@
>
@
>
@
.)()(
00
tDBeCth
tA
G
(8.4)
Пример 3. Для цепи, показанной на рис. 8.7, с начальным током
в индуктивности при постоянном воздействии
Utu
определить i(t).
Рис. 8.7
В главе о переходных процессах был получен следующий результат:

.0)(
;
R
L
e
R
U
i
R
U
ti
t
LL
W
¸
¹
·
¨
©
§
W
После перегруппировки членов в данном уравнении найдем

.10)(
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
W
W
tt
LL
e
R
U
eiti

Страницы