Электротехника. Бондаренко А.В. - 194 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

382 383
а при воздействии в виде

>@
)(
0
ttu G
единичных импульсных функций
(импульсы Дирака) найдем импульсные характеристики
>@>@>@>@

>@>@
^`
>@
.)(1)(
0
1
0
tDBApCth G
(9.4)
Но поскольку
^`
)()(
0
1
1
tpt G G
, то и
>@ >@
^`
)()(
0
1
1
thpth
.
Заметим также, что выражения в фигурных скобках (9.2)–(9.4) пред-
ставляют собой матрицу системных функций в дифференциальной опе-
раторной форме – так называемый матричный (в данном случае) опера-
тор О. Хевисайда.
9.2. Иллюстративные примеры
Пример 1. Определить операторные выражения для переходной
и импульсной характеристик по току i(t) и напряжению на емкостном
элементе
)(tu
C
цепи из последовательного соединения R-, C-элементов
и источника напряжения (принимаются нулевые начальные условия).
Обратимся к исходному дифференциальному уравнению
.)()(
)(
;)()()( tutu
d
t
tdu
RCtututu
C
C
CR
В соответствии с (9.1) здесь
>@> @>@ >@ >@ > @ >@ >@
,0;,1;
1
;)(),()(;)()(
DCpCB
R
C
Atitutytxtu
tt
CC
где t – значок транспозиции матриц.
После учета оператора дифференцирования получим
^`
.
1
)(1
)(;)()()(
R
C
p
tu
RC
tutututuRCp
CCC
Для тока в цепи найдем
^`
^`
.
1
)(1
)()(
RC
p
tup
R
tuCpti
C
Используя в виде входных воздействий единичные ступенчатую
и импульсную функции, определим искомые характеристики цепи:
.
1
)(
1
)(;
1
)(
1
)(
;
1
)(
1
)(;
1
)(
1
)(
0
0
0
1
0
0
1
1
R
C
p
tp
R
th
R
C
p
t
R
th
RC
p
t
RC
th
RC
p
t
RC
th
ii
uu
CC
G
G
G
G
Остается определить способ перехода от операторных выражений
к явным функциям времени. Для этого начнем рассмотрение с диффе-
ренциального уравнения первого порядка

.)(
1
)(;)()(;)()(
)(
tu
p
txtutxptutx
dt
tdx
D
D D
(9.5)
Прямым дифференцированием несложно установить, что

^
`
.)()()( txeptuetxpe
ttt DDD
D
Отсюда следует, что
^
`
.)(
1
)( tue
p
etx
tt DD
(9.6)
Обобщим данный результат и распространим на выражение (9.1)
c учетом (9.6):
>
@
>
@
>
@
>
@
>
@
;)()(1 tuBtxAp
@
>@ > @

>@
@
>@> @ >@
@
>@
^
`
.)(1)()(1 txeptuBetxApe
tAtAtA
Отсюда несложно установить, что
>
@
@
>
@
@
>
@
>
@
>
@
>
@
>
@
>
@
.)(1)(1)(
1
1
tuBAptuBepetx
tAtA
(9.7)
В предшествующем соотношении и выражении (9.7) введена так
называемая матричная экспонента exp([A]t), упоминавшаяся выше и пред-
ставляющая собой матрицу, членами которой являются обычные экспо-
ненты. Если принять, что
ttu
0
G
,
>
@
>
@
1
B
, тоо
>
@
>
@
>
@
>
@
>
@
.)()(1
10
1
tetAp
tA
G G
(9.8)

Страницы