Математический анализ. Методические рекомендации. Бондарева Е.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 11 —
Ðåøåíèå. Ïðåîáðàçóå çàåàòåëü ïîäûòåãðàëüîé äðî-
áè, âûäåëèâ ïîë ûé êâàäðàò:
x
2
–4x+8=(x
2
–4x+4)–4+8=(x–2)
2
+2.
Ââåäåì ïîäñòàíîâêó t=x– 2, dt = dx.
Ïîëó÷èì
()
22
15
84
15
2
22
dx
x
x
dx
xx
x
=
+−
+
=
+−
+
∫
∫
∫
(
)
2
11
2
5
2
115
2
125
22222222
t
dt
t
tdt
dt
t
t
dt
t
t
=
+
+
+
=
+
+
=
+
++
=
∫∫∫∫
()
()
[]
.
2
2
arctg
2
5
42ln
2
3
2
arctg
2
11
4ln
2
5
2
2
c
x
xc
t
t
+
−
++−=+++=
Ïðèìå÷àíèå. ×òîáû íàéòè èíòåãðàë
∫
+
4
5
2
t
dtt
, èñïîëüçîâàëàñü çà-
ìåíà
ïåðåìåííîé z=t
2
+ 4. Òîãäà dz = 2t dt.
Ïîëó÷èì
()
.4ln
2
5
ln
2
5
2
5
4
2
2
5
4
5
2
22
ctcz
z
dz
t
dtt
t
dtt
++=+==
+
=
+
∫∫∫
Çàäàíèå 4.  çàäà÷àõ 4.1—4.20 íàéòè íåîïðåäåëå ûå è -
òåãðàëû, ïîëüçóÿñü ðàçëîæåíèåì ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé à ïðî-
ñòåéøèå.
4.1.
()( )()
∫
−++
321 xxx
dxx
4.7.
dx
x
x
∫
−
+
8
20
3
4.2.
()
()
dx
xxx
xx
∫
+−−
−−
521
332
2
2
4.8.
()
dx
xx
x
∫
+
+
1
13
2
4.3.
()
dx
xxx
x
∫
−+
−
6
57
23
4.9.
dx
xx
x
∫
+
+
2
52
3
4.4.
∫
+
1
3
x
dxx
4.10.
∫
+
−
dx
xx
x
3
13
2
4.5.
()
∫
+
1
2
xx
dx
4.11.
()
()
dx
xx
x
∫
+−
−
13
27
2
4.6.
()( )
∫
+−
21xxx
dx
4.12.
()
dx
xx
x
∫
−
+
3
3
1
1
     Ðåøåíèå. Ïðåîáðàçóå ç à å àòåëü ïîäû òåãðàëü îé äðî-
áè, âûäåëèâ ïîë ûé êâàäðàò:
        x2 – 4x + 8 = (x2 – 4x + 4) – 4 + 8 = (x – 2)2 + 2.
     Ââåäåì ïîäñòàíîâêó t = x – 2, dt = dx.
     Ïîëó÷èì
                          5x + 1               5x + 1
                    ∫ x 2 − 4 x + 8 dx = ∫ (x − 2 )2 + 2 2 dx = ∫
           5(t + 2) + 1        5t + 11         5tdt     11dt
      =∫                dt = ∫ 2       dt = ∫ 2
                                             t + 22 ∫ t 2 + 22
                                                    +          =
             t 2 + 22         t + 22
     5              11    t     3
                                           [      5
    = ln(t 2 + 4 ) + arctg + c = ln (x − 2 ) + 4 + arctg
     2               2    2     2
                                            2

                                                  2
                                                        ]x−2
                                                          2
                                                             + c.

                                                     5t dt
     Ïðèìå÷àíèå. ×òîáû íàéòè èíòåãðàë             ∫ t 2 + 4 , èñïîëüçîâàëàñü çà-
ìåíà ïåðåìåííîé z = t 2 + 4. Òîãäà dz = 2t dt.
     Ïîëó÷èì
            5t dt     5    2t dt   5 dz 5
         ∫ t2 + 4 = 2 ∫ t2 + 4 = 2 ∫
                                                   5
                                                             (
                                       = ln z + c = ln t 2 + 4 + c.
                                      z 2          2
                                                                    )
     Çàäàíèå 4.  çàäà÷àõ 4.1—4.20 íàéòè íåîïðåäåëå ûå è -
òåãðàëû, ïîëüçóÿñü ðàçëîæåíèåì ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé à ïðî-
ñòåéøèå.
                      x dx                     x + 20
      4.1. ∫                            4.7. ∫ 3       dx
             (x + 1)(x + 2 )(x − 3)             x −8
                2 x 2 − 3x − 3                   3x + 1
      4.2. ∫                       dx   4.8. ∫            dx
             (x − 1)(x2 − 2 x + 5)             x(x2 + 1)
                 7x − 5                         2x + 5
      4.3. ∫ 3               dx         4.9. ∫ 3         dx
             (x + x2 − 6x)                     x + 2x
              x dx                             3x − 1
      4.4. ∫ 3                        4.10. ∫ 2        dx
             x +1                              x + 3x
                dx                                7x − 2
      4.5. ∫                          4.11. ∫                 dx
             x(x + 1)
                 2
                                              (x − 3)(x2 + 1)
                    dx                           x3 + 1
      4.6. ∫                          4.12. ∫             dx
             x(x − 1)(x + 2 )                  x(x − 1)
                                                        3




                                     — 11 —

Страницы