Математический анализ. Методические рекомендации. Бондарева Е.В. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 9 —
Ðåøåíèå. Ïðèåè ïîäñòàîâêó t =lnx, òîãäà
x
dx
dt =
.
Èìååì
() ()
cxctdtt
x
dx
x
+=+==
∫∫
4
43
3
ln
4
1
4
1
ln
.
Ïðèìåð 2. Íàéòè èíòåãðàë dxxe
x 1
2
+
∫
.
Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ïîäñòàíîâêó t = x + 1, òîãäà
.
2
:2 xdx
dt
xdxdt ==
Ïîëó÷àåì
.
2
1
2
1
2
11
22
cece
dt
edxxe
xttx
+=+==
++
∫∫
Çàäàíèå 2.  çàäà÷àõ 2.1—2.20 íàéòè íåîïðåäåëåí ûå
èíòåãðàëû, ïðèìåíÿÿ ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿ .
2.1.
∫
xdxln
2.11.
()
∫
+
dxex
x
1
2.2.
∫
xdxx ln
3
2.12.
()
∫
−
+
dxex
x5
82
2.3.
∫
xdxx 2cos
2.13.
()
∫
−
xdxx 5cos12
2.4.
∫
xdxx 3sin
2.14.
∫
xdx2arcsin
2.5.
∫
−
dxxe
x
2
2.15.
∫
xdx5ln
2.6.
∫
dxarctgx 2.16.
()
∫
+
xdxx 4sin17
2.7.
∫
dxx
x
3 2.17.
∫
xdx3arctg
2.8.
∫
xdxarccos
2.18.
∫
dxex
x2
2.9.
()
∫
−
xdxx ln12
2.19.
∫
dxxx 2cos
2
2.10.
()
∫
+
dxxx 3sin13
2.20.
∫
dxx
x
2
Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà
Íàéòè èíòåãðàë
dxxx ln
2
∫
.
Ðåøåíèå. Èñïîëüçóåì ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿ
∫∫
−= duvvudvu
.
Ïîëàãàåì, u =lnx, dv = x
2
dx, òîãäà
.
3
,
3
2
x
dxxv
x
dx
du ===
∫
                                                                                                  dx
    Ðåøåíèå. Ïðè å è                           ïîäñòà îâêó t = ln x, òîãäà dt =                      .
                                                                                                  x

              ∫ (ln x )              = t 3dt = t 4 + c = (ln x )4 + c .
                              3   dx          1         1
                                   x ∫
    Èìååì
                                              4         4
                                                             x 2 +1
    Ïðèìåð 2. Íàéòè èíòåãðàë                            ∫e            x dx .
    Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ïîäñòàíîâêó t = x + 1, òîãäà
                                                             dt
                                          dt = 2 xdx :          = xdx.
                                                             2
    Ïîëó÷àåì
                                                     dt 1 t     1
                     ∫e               x dx = ∫ e t
                             x 2 +1
                                                       = e + c = e x +1 + c.
                                                                                       2



                                                     2 2        2
    Çàäàíèå 2.  çàäà÷àõ 2.1—2.20 íàéòè íåîïðåäåëåí ûå
èíòåãðàëû, ïðèìåíÿÿ ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿ .
             ∫ ln xdx                                                 ∫ (x + 1)e dx
                                                                                   x
      2.1.                                              2.11.
             ∫ x ln xdx                                               ∫ (2 x + 8)e dx
                3                                                                          −5 x
      2.2.                                              2.12.
      2.3.   ∫ x cos 2 xdx                              2.13.         ∫ (2 x − 1)cos 5xdx
      2.4.   ∫ x sin 3xdx                               2.14.         ∫ arcsin 2 xdx
             ∫ xe dx                                                  ∫ ln 5xdx
                         2
                    −x
      2.5.                                              2.15.
      2.6.   ∫ arctgxdx                                 2.16.         ∫ (7x + 1)sin 4 xdx
             ∫ x 3 dx                                                 ∫ arctg3xdx
                    x
      2.7.                                              2.17.
             ∫ arccos xdx                                             ∫ x e dx
                                                                         2     x
      2.8.                                              2.18.
             ∫ (2 x − 1)ln xdx                                        ∫ x cos 2x dx
                                                                         2
      2.9.                                              2.19.
             ∫ (3x + 1)sin 3x dx                                      ∫ x 2 dx
                                                                               x
     2.10.                                              2.20.
    Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà
                                           2
    Íàéòè èíòåãðàë                     ∫ x ln x dx .
    Ðåøåíèå. Èñïîëüçóåì ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿ

                                               ∫ u dv = u v − ∫ v du .
                                                                                   dx                 x3
    Ïîëàãàåì, u = ln x, dv = x2 dx, òîãäà du =                                        , v = ∫ x 2 dx = .
                                                                                   x                  3

                                                   —9—

Страницы