Математический анализ. Методические рекомендации. Бондарева Е.В. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 12 —
4.13.
dx
xxx
x
∫
−−
+
2
2
23
4.17.
dx
x
xx
∫
−
++
1
14
3
2
4.14.
()
dx
xx
x
∫
+
+
1
1
2
4.18.
dx
xxx
x
∫
−+
−
6
618
23
4.15.
()()
dx
xx
x
∫
−+
+
43
15
4.19.
()
()
dx
xx
x
∫
++
−
52
2
2
4.16.
()( )
dx
xxx
x
∫
+−
+
21
2
2
4.20.
()
()
∫
+− 103
2
xx
dxx
Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà
Ïðèìåð. Íàéòè èíòåãðàë
()
()
∫
+−
11
2
xx
dxx
.
Ðåøåíèå. Ðàçëîæèì ïîäûíòåãðàëüíóþ äðîáü íà ïðîñòåéøèå:
()
()
î
x
CBx
x
A
xx
x
+
+
+
−
=
++
22
,
1111
îòñþäà ïîëó÷àåì
x = A(x
2
+1)+(Bx +C)(x –1)=Ax
2
+ A + Bx
2
– Bx +Cx C.
Ïðèðàâíèâàåì êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïå ÿõ x:
x
2
0=A+B
x
1
1=–B+C ,
x
0
0=A–C
îòñþäà ïîëó÷àåì
.
2
1
,
2
1
,
2
1
CBA =−==
Òîãäà
()
()
.arctgx
2
1
1ln
4
1
1ln
2
1
12
1
12
1
12
1
1
1
2
1
12
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
11
2
22
222
cxx
x
dx
x
xdx
x
dx
x
x
x
dx
dx
x
x
xxx
xdx
+++−−=
+
+
+
−
−
=
=
+
−
−
−
=
+
+−
+
−
=
+−
∫∫∫
∫∫∫∫
                  x+2                                 4 x2 + x + 1
      4.13.   ∫x
               3
                 − x2 − 2 x
                            dx                 4.17.      ∫
                                                         x3 − 1
                                                                   dx
                x +1                                     18x − 6
      4.14. ∫            dx                    4.18. ∫ 3            dx
              x(x 2 + 1)                              x + x2 − 6 x
                  5x + 1
            ∫
      4.15. (x + 3)(x − 4 )
                             dx                                    x−2
                                               4.19.     ∫ (x + 2 )(x   2
                                                                            + 5)
                                                                                   dx

                   x2 + 2                                          x dx
     4.16.   ∫ x(x − 1)(x + 2 ) dx             4.20.      ∫ (x − 3)(x   2
                                                                            + 10 )

     Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà
                                              x dx
     Ïðèìåð. Íàéòè èíòåãðàë           ∫ (x − 1)(x   2
                                                        + 1)
                                                               .
     Ðåøåíèå. Ðàçëîæèì ïîäûíòåãðàëüíóþ äðîáü íà ïðîñòåéøèå:

                              x        A Bx + C
                                     =     +       ,î
                       (x + 1)(x + 1) x − 1 x2 + 1
                                2



     îòñþäà ïîëó÷àåì
     x = A(x2 + 1) + (Bx +C)(x – 1) = Ax2 + A + Bx2 – Bx +Cx C.
     Ïðèðàâíèâàåì êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïå ÿõ x:

                          x2           0=A+B
                          x1           1 = –B + C ,
                          x0           0=A–C
                               1      1    1
îòñþäà ïîëó÷àåì A =              , B=− , C= .
                               2      2    2
     Òîãäà
                                  1     1
       xdx             1 1       − x+          1 dx 1 x − 1
                                   2     2
∫ (x − 1)(x 2 + 1) = ∫  2 x − 1 + x2 + 1  dx = 2 ∫ x − 1 − 2 ∫ x 2 + 1 =
                                          
                                          
   1 dx 1 xdx 1 dx                      1          1              1
= ∫
   2 x − 1 2 ∫ x2 + 1 2 ∫ x2 + 1 2
             −             +          = ln x − 1 − ln x 2 + 1 + arctgx + c.
                                                   4              2


                                     — 12 —

Страницы