Математический анализ. Методические рекомендации. Бондарева Е.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 16 —
()
.12
8
3
2
9
0
2
2sin
2
1
cos2
2
9
4
+−π=
ϕ
−ϕ+ϕ−+ϕ=
π
 çàäà÷àõ 6.11—6.20 íàéòè äëèíó äóãè êðèâîé.
6.11.
,
3
1
xxy =
120 ≤≤ x
6.12. ,sinln xy =
23
π
≤≤
π
x
6.13.
,cosln1 xy −=
6
0
π
≤≤ x
6.14.
,sinϕ= ar
2
0
π
≤ϕ≤
6.15.
,cos
ϕ=
ar
2
0
π
≤ϕ≤
6.16.
,cos1 ϕ−=r
2
0
π
≤ϕ≤
6.17.
()
,cos12 ϕ+=r
2
0
π
≤ϕ≤
6.18.
,ln xy =
1
4
3
≤≤ x
6.19.
,cosln xy =
3
0
π
≤≤ x
6.20.
()
,11
3
1
++= xxy
10 ≤≤x
Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà
Íàéòè äëèíó äóãè êðèâîé
,sinln1 xy += (
23
π
≤≤
π
x
)
.
Ðåøåíèå. Äëèíà äóãè êðèâîé, çàäàííîé â äåêàðòîâûõ êîîð-
äèíàòàõ, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
()
dxyL
b
a
∫
′
+=
2
1
.
Ó íàñ
==
+
=
+=
∫∫∫
π
π
π
π
π
π
2
3
2
3
22
2
3
2
sinsin
cossin
sin
cos
1
x
dx
dx
x
xx
dx
x
x
L
                                                 π
      9                  1     sin 2 ϕ   4 9  3      
     = ϕ + 2 (− cos ϕ ) +  ϕ −           =  π − 2 + 1.
      2                  2        2  0 2  8          
     çàäà÷àõ 6.11—6.20 íàéòè äëèíó äóãè êðèâîé.
             1
    6.11. y = x x,                  0 ≤ x ≤ 12
             3
                                    π      π
    6.12. y = ln sin x,               ≤x≤
                                    3       2
                                           π
    6.13. y = 1 − ln cos x,         0≤x≤
                                           6
                                           π
    6.14. r = a sin ϕ,              0≤ϕ≤
                                           2
                                           π
    6.15. r = a cos ϕ,              0≤ϕ≤
                                           2
                                           π
    6.16. r = 1 − cos ϕ,            0≤ϕ≤
                                           2
                                           π
    6.17. r = 2 (1 + cos ϕ ),       0≤ϕ≤
                                           2
                                    3
    6.18. y = ln x,                   ≤ x ≤1
                                    4
                                           π
    6.19. y = ln cos x,             0≤x≤
                                           3
                1
    6.20. y =     (x + 1) x + 1, 0 ≤ x ≤ 1
                3
    Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà
                                                             π          π
    Íàéòè äëèíó äóãè êðèâîé y = 1 + ln sin x, ( ≤ x ≤ ).
                                               3      2
    Ðåøåíèå. Äëèíà äóãè êðèâîé, çàäàííîé â äåêàðòîâûõ êîîð-
                                                 b
äèíàòàõ, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå L = ∫ 1 + (y′)
                                                         2
                                                                 dx .
                                                 a
    Ó íàñ
          π                     π                            π
                           2
          2
                  cos x       2
                                     sin 2 x + cos2 x      2
                                                              dx
     L=∫      1+         dx = ∫                     dx = ∫       =
          π       sin x       π         sin x            π sin x
          3                     3                            3



                                — 16 —

Страницы