Математический анализ. Методические рекомендации. Бондарева Е.В. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 18 —
(
)
000
;
yxP
.
2. Íàéòè ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà ôóêöèè
Z = f (x; y) è âû÷èñëèòü èõ çíà÷åíèÿ â òî÷êå
(
)
000
;
yxP
.
Îáîçíà÷èì
;;
0
2
0
2
2
P
dxdy
zd
BP
dx
zd
A
=
= .
0
2
2
P
dy
zd
C
=
3. Âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü
2
BAC
CB
BA
−==∆ .
Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî ∆ > 0, òî ôóíêöèÿ Z = f (x; y) â òî÷êå
(
)
000
;
yxP
èìååò ìàêñèìóì ïðè À <0 è ìèíèìóì ïðè À > 0; åñëè
æå ∆ < 0, òî â òî÷êå
(
)
000
;
yxP
ýêñòðåìóìà íåò. Íàêî åö, åñëè
∆ = 0, òî âîïðîñ îá ýêñòðåìóìå â ýòîé òî÷êå îñòàåòñÿ îòêðû-
òûì è òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîãî èññëåäîâàíèÿ.
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè
1. Êàê îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèÿ íåñêîëüêèõ ïåðå å ûõ?
2. Äàéòå îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè íåñêîëüêèõ
ïåðåìåííûõ.
3. ×òî íàçûâàåòñÿ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè åñêîëü-
êèõ ïåðåìåííûõ?
4. Êàêîâà ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ÷àñòíîé ïðîèç-
âîäíîé ôóíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ?
5. ×òî íàçûâàåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëî ôóíêöèè äâóõ
àðãóìåíòîâ?
6. Êàê âû÷èñëÿåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ ñëîæíîé ôóíêöèè?
7. Êàê âû÷èñëÿåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ è êàêîâà
åå ñâÿçü ñ ãðàäèåíòîì ôóíêöèè?
8. Ñôîðìóëèðóéòå ïðàâèëî èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè äâóõ ïå-
ðåìåííûõ íà ýêñòðåìóì.
P0 (x0 ; y0 ).
     2. Íàéòè ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà ôó êöèè
                                                  (
Z = f (x; y) è âû÷èñëèòü èõ çíà÷åíèÿ â òî÷êå P0 x0 ; y0 .  )
     Îáîçíà÷èì

        d 2z              d 2z                d 2z 
    A=     2 
                P0 ;   B =        P0 ;     C =  2  P0 .
        dx                dxdy                dy 

                                      A B
     3. Âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü ∆ =          = AC − B 2 .
                                      B C
     Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî ∆ > 0, òî ôóíêöèÿ Z = f (x; y) â òî÷êå
P0 (x0 ; y0 ) èìååò ìàêñèìóì ïðè À < 0 è ìèíèìóì ïðè À > 0; åñëè
                        (     )
æå ∆ < 0, òî â òî÷êå P0 x0 ; y0 ýêñòðåìóìà íåò. Íàêî åö, åñëè
∆ = 0, òî âîïðîñ îá ýêñòðåìóìå â ýòîé òî÷êå îñòàåòñÿ îòêðû-
òûì è òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîãî èññëåäîâàíèÿ.
     Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè
     1. Êàê îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèÿ íåñêîëüêèõ ïåðå å ûõ?
     2. Äàéòå îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè íåñêîëüêèõ
     ïåðåìåííûõ.
     3. ×òî íàçûâàåòñÿ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè åñêîëü-
     êèõ ïåðåìåííûõ?
     4. Êàêîâà ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ÷àñòíîé ïðîèç-
     âîäíîé ôóíêöèè äâóõ àðãóìåíòîâ?
     5. ×òî íàçûâàåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëî ôóíêöèè äâóõ
     àðãóìåíòîâ?
     6. Êàê âû÷èñëÿåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ ñëîæíîé ôóíêöèè?
     7. Êàê âû÷èñëÿåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ è êàêîâà
     åå ñâÿçü ñ ãðàäèåíòîì ôóíêöèè?
     8. Ñôîðìóëèðóéòå ïðàâèëî èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè äâóõ ïå-
     ðåìåííûõ íà ýêñòðåìóì.




                             — 18 —

Страницы