Математический анализ. Методические рекомендации. Бондарева Е.В. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 17 —
.
2
cos
2
tg2
2
cos
2
sin2
2
3
2
2
3
∫∫
π
π
π
π
⋅
==
xx
dx
xx
dx
Ïðèìåíèì ïîäñòàíîâêó
2
tg
x
z =
.Òîãäà
2
cos2
2
x
dx
dz =
è
3ln
2
1
3
1
ln1lnln
1
3
1
1
3
1
=−===
∫
z
z
dz
L
.
ÓÊÀÇÀÍÈß Ê ÂÛÏÎËÍÅÍÈÞ
ÊÎÍÒÐÎËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ ¹ 3
Òåìà VI. Ôóíêöèè ìíîãèõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ
Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1], ãë. XIII, § 1—7, 12—15, 17;
[2], ÷. I.
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ïî ýòîé òåìå ñëåäóåò îáðàòèòü â è à-
íèå íà òî, ÷òî ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîä ûõ òå
æå, ÷òî è äëÿ ôóíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé.
Åñëè íåîáõîäèìî íàéòè ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî ïåðå å -
íîé x, òî ïåðåìåííàÿ y ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷è-
íîé, è íàîáîðîò — ïðè íàõîæäåíèè ÷àñòíîé ïðîèçâîä îé ïî ïå-
ðåìåííîé y íà ïåðåìåííóþ x ñëåäóåò ñìîòðåòü êàê íà êî ñòà òó.
 çàäà÷àõ íà èññëåäîâàíèå ôóíêöèè Z = f (x; y) íà ýêñòðå ó
ñëåäóåò ïðèäåðæèâàòüñÿ ñëåäóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåéñòâèé:
1. Ñíà÷àëà íóæíî íàéòè ñòàöèîíàðíûå òî÷êè, ò. å. òî÷êè, â
êîòîðûõ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ðàâíû íóëþ. Äëÿ ýòîãî íàäî àéòè
÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè Z = f (x; y) è ðåøèòü ñèñòå ó
óðàâíåíèé:
=
=
0
0
dy
dz
dx
dz
.
Òàêèõ òî÷åê ìîæåò áûòü íåñêîëüêî. Îáîçíà÷è îä ó èç èõ
                  π                             π
                  2
                               dx     2
                                               dx
               =∫                    =∫                  .
                               x    x π      x       2 x
                  π
                  3
                          2 sin cos     2 tg   ⋅ cos
                               2    2 3      2         2
                                                    x                     dx
    Ïðèìåíèì ïîäñòàíîâêó z = tg                       .Òîãäà dz =                      è
                                                    2                              x
                                                                       2 cos   2

                                                                                   2
                      1
                          dz          1
                                                         1   1
             L=       ∫      = ln z        = ln 1 − ln      = ln 3 .
                      1    z          1                   3  2
                      3                3



           ÓÊÀÇÀÍÈß Ê ÂÛÏÎËÍÅÍÈÞ
           ÊÎÍÒÐÎËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ ¹ 3
Òåìà VI. Ôóíêöèè ìíîãèõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ
    Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1], ãë. XIII, § 1—7, 12—15, 17;
    [2], ÷. I.
     Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ïî ýòîé òåìå ñëåäóåò îáðàòèòü â è à-
íèå íà òî, ÷òî ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîä ûõ òå
æå, ÷òî è äëÿ ôóíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé.
     Åñëè íåîáõîäèìî íàéòè ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî ïåðå å -
íîé x, òî ïåðåìåííàÿ y ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷è-
íîé, è íàîáîðîò — ïðè íàõîæäåíèè ÷àñòíîé ïðîèçâîä îé ïî ïå-
ðåìåííîé y íà ïåðåìåííóþ x ñëåäóåò ñìîòðåòü êàê íà êî ñòà òó.
      çàäà÷àõ íà èññëåäîâàíèå ôóíêöèè Z = f (x; y) íà ýêñòðå ó
ñëåäóåò ïðèäåðæèâàòüñÿ ñëåäóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåéñòâèé:
     1. Ñíà÷àëà íóæíî íàéòè ñòàöèîíàðíûå òî÷êè, ò. å. òî÷êè, â
êîòîðûõ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ðàâíû íóëþ. Äëÿ ýòîãî íàäî àéòè
÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè Z = f (x; y) è ðåøèòü ñèñòå ó
óðàâíåíèé:

                                     dz
                                            = 0
                                      dx
                                     dz
                                                     .
                                             = 0
                                    dy
    Òàêèõ òî÷åê ìîæåò áûòü íåñêîëüêî. Îáîçíà÷è îä ó èç èõ


                                      — 17 —

Страницы