Математический анализ. Методические рекомендации. Бондарева Е.В. - 19 стр.

   Òåìà VII. Êðàòíûå è êðèâîëèíåéíûå èíòåãðàëû
      Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1], ãë. XIV, 1—5, 10; ãë. XV,
      § 1, 2, 4; [2], ÷. 2, ãë. 1, § 1—4, 6; ãë. 2, § 1, 2.
      Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî ýòîé òåìå íåîáõîäè î ïðåæäå
âñåãî ðàçîáðàòüñÿ â ïðàâèëàõ ïåðåõîäà îò äâîéíîãî è òåã-
ðàëà ïî ïðàâèëüíîé îáëàñòè D ê äâóêðàòíî ó (ïîâòîð î-
ìó) èíòåãðàëó: åñëè D — ïðàâèëüíàÿ îáëàñòü, îãðà è÷å -
íàÿ â íàïðàâëåíèè îñè Îy ëèíèÿìè y = ϕ 1 (x), y = ϕ 2(x),
[a ≤ x ≤ b, ϕ 1(x) ≤ ϕ2(x)], òî
                              ϕ2 (x )
                      b                          b
                                                    ϕ (x )        
    ∫∫ f (x, y )dxdy = ∫ dx          (     )        ∫ f (x, y )dy  dx.
                                                   2


                                ∫  f  x, y  dy = ∫
                                                 a  ϕ (x )
    D                 a       ϕ (x )
                               1                   1               
     Îáðàòèòå âíèìàíèå íà ïåðåõîä â äâîéíî èíòåãðàëå ê
ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì.
     Èçó÷èòå ìåõàíè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ äâîéíîãî è òåãðàëà.
     Ïðè èçó÷åíèè êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà ðàçáåðèòåñü â
ñïîñîáå åãî ñâåäåíèÿ ê îïðåäåëåííîìó èíòåãðàëó ïî åêîòîðî-
ìó îòðåçêó.
     Èçó÷èòå óñëîâèÿ íåçàâèñèìîñòè êðèâîëèíåéíîãî è òåã-
ðàëà îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ.
    Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè
    1. Êàêàÿ îáëàñòü íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé?
    2. Êàê ñâåñòè äâîéíîé èíòåãðàë ïî ïðàâèëüíîé îáëàñòè ê
    äâóêðàòíîìó?
    3. Êàêîâû ïðàâèëà ïåðåõîäà â äâîéíîì èíòåãðàëå ê ïîëÿð-
    íûì êîîðäèíàòàì?
    4. Êàê âû÷èñëÿåòñÿ îáúåì òåëà ñ ïîìîùüþ äâîé îãî è -
    òåãðàëà?
    5. Êàê âû÷èñëÿåòñÿ ìàññà è öåíòð òÿæåñòè ïëîñêîé ïëàñ-
    òèíû ïðè çàäàííîé ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòè?
    6. Êàêèå çàäà÷è ïðèâîäÿò ê ïîíÿòèþ êðèâîëèíåé îãî è -
    òåãðàëà?
    7. Êàê âû÷èñëÿåòñÿ êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë?
    8. Êàê âëèÿåò íà çíà÷åíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà à-
    ïðàâëåíèå îáõîäà êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ?
    9. Êàêîâû óñëîâèÿ íåçàâèñèìîñòè êðèâîëèíåéíîãî è òåã-
    ðàëà îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ?


                                        — 19 —