Математический анализ. Методические рекомендации. Бондарева Е.В. - 23 стр.

     Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà
     Èññëåäîâàòü à ýêñòðå ó ôó êöèþ z = −4 + 6 x − x − xy − y .
                                                             2    2


     Ðåøåíèå. Íàõîäèì ñòàöèîíàðíûå òî÷êè çàäàííîé ôó êöèè:
                     dz                dz
                        = 6 − 2 x − y;    = − x − 2 y.
                     dx                dy
     Ðåøàÿ ñèñòåìó
                                6 − 2 x − y = 0,
                                
                                − x − 2 y = 0,
íàõîäèì x 0 = 4, y 0 = −2 .
    Ñëåäîâàòåëüíî, äàííàÿ ôóíêöèÿ èìååò òîëüêî îä ó ñòàöè-
îíàðíóþ òî÷êó P0 (4; − 2 ). Íàõîäèì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî
ïîðÿäêà è èõ çíà÷åíèÿ â íàéäåííîé ñòàöèîíàðíîé òî÷êå:

                   d 2z       d 2z       d 2z
                      2
                        = −2;      = −1;      = −2.
                   dx         dxdy       dy 2
    ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà íå ñîäåðæàò , î è
ïîñòîÿííû â ëþáîé òî÷êå è, â ÷àñòíîñòè, â òî÷êå P0 (4; − 2 ) .
Èìååì A = –2, B = –1, C = –2;

                           − 2 −1
                      ∆=          = 4 − 1 = 3 >0.
                           −1 − 2

     Òàê êàê ∆ > 0 è A < 0, òî â òî÷êå P0 (4; − 2 ) äàííàÿ ôó êöèÿ
èìååò ìàêñèìóì zìàêñ = z(4; − 2 ) = − 4 + 24 − 16 + 8 − 4 = 8 .

     çàäà÷àõ 2.11—2.20 íàéòè íàèìåíüøåå è íàèáîëüøåå ç à-
÷åíèÿ ôóíêöèè Z = f(x; y) â çàäàííîé çàìêíóòîé îáëàñòè.
    2.11. z = x2 + y2 – 4xy – 4 â êâàäðàòå 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4.
    2.12. z = x2 + 4xy – y2 – 6x – 2y â òðåóãîëüíèêå, îãðà è÷å î
îñÿìè êîîðäèíàò Îõ è Îó è ïðÿìîé ó = 4 – õ.
    2.13. z = x2 + 2y2 + 4xy + 1 â êâàäðàòå –1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.
    2.14. z = x3 + y3 – 3xy â êâàäðàòå 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4.


                                 — 23 —