Математический анализ. Методические рекомендации. Бондарева Е.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 25 —
Ïðèðàâ ÿâ ê óëþ ÷àñò ûå ïðîèçâîä ûå è ðåøèâ ïîëó-
÷å óþ ñèñòå ó
y
x
,084
,022
=−
=−
íàõîäèì ñòàöèîíàðíóþ òî÷êó P
0
(1; 2).
Ýòà òî÷êà ïðèíàäëåæèò çàäàííîé îáëàñòè. Âû÷èñëè çà-
÷åíèå ôóíêöèè â ýòîé òî÷êå:
z(P
0
)=z(1;2) = 1 + 8–2–16+5=–4.
Ãðàíèöà îáëàñòè ñîñòîèò èç îòðåçêà ÎÀ îñè Î , îòðåçêà
ÎÂ îñè Îó è îòðåçêà ÀÂ.
Îïðåäåëèì íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôó ê-
öèè z íà êàæäîì èç ýòèõ òðåõ ó÷àñòêîâ.
Íà îòðåçêå ÎÀ y =0, à 0≤x≤4. Åñëè y = 0, òî
z(x) = x
2
– x + 5.
Íàõîäèì íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ýòîé ôó -
êöèè íà îòðåçêå [0; 4]:
;22 −= x
dx
dz
;022 =−x
x = 1;
()
;0;1
1
P
() ( )
.40;1
1
==
zPz
Âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè íà êîíöàõ îòðåçêà ÎÀ, ò. å.
â òî÷êàõ O(0; 0) è A(4; 0): z(0) = 5; z(4) = 13.
Íà îòðåçêå ÎÂ x =0 è 0≤y≤4. Åñëè x = 0, òî
z(y)=2y
2
–8y+5.
Íàõîäèì íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôó êöèè
z îò ïåðåìåííîé y íà îòðåçêå [0; 4]:
84 −= y
dy
dz
; 4y – 8; y=2;
()
2;0
2
P ;
()
2;0
2
P
.
 òî÷êå Î(0; 0) çíà÷åíèå ôóíêöèè óæå áûëî íàéäåî.
Âû÷èñëèì çíà÷åíèå ôóíêöèè â òî÷êå Â: z(B)=z(0;4) = 5.
Òåïåðü èññëåäóåì îòðåçîê ÀÂ. Óðàâíåíèå ïðÿîé ÀÂ è å-
åò âèä y =4–x. Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå äëÿ ó â çàäàóþ
ôóíêöèþ z, ïîëó÷èì
z= x
2
+ 2(4 – x)
2
– 2x – 8(4 – x)+5=3x
2
–10x +5.
     Ïðèðàâ ÿâ ê óëþ ÷àñò ûå ïðîèçâîä ûå è ðåøèâ ïîëó-
÷å   óþ ñèñòå ó
                              2 x − 2 = 0,
                              
                              4 y − 8 = 0,
íàõîäèì ñòàöèîíàðíóþ òî÷êó P0(1; 2).
     Ýòà òî÷êà ïðèíàäëåæèò çàäàííîé îáëàñòè. Âû÷èñëè ç à-
÷åíèå ôóíêöèè â ýòîé òî÷êå:
           z(P0) = z(1;2) = 1 + 8 – 2 – 16 + 5 = –4.
    Ãðàíèöà îáëàñòè ñîñòîèò èç îòðåçêà ÎÀ îñè Î , îòðåçêà
ÎÂ îñè Îó è îòðåçêà ÀÂ.
    Îïðåäåëèì íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôó ê-
öèè z íà êàæäîì èç ýòèõ òðåõ ó÷àñòêîâ.
    Íà îòðåçêå ÎÀ y = 0, à 0 ≤ x ≤ 4. Åñëè y = 0, òî
                     z(x) = x2 – x + 5.
    Íàõîäèì íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ýòîé ôó -
êöèè íà îòðåçêå [0; 4]:
dz
   = 2 x − 2 ; 2 x − 2 = 0 ; x = 1;       P1 (1; 0 ); z (P1 ) = z (1; 0 ) = 4 .
dx
     Âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè íà êîíöàõ îòðåçêà ÎÀ, ò. å.
â òî÷êàõ O(0; 0) è A(4; 0): z(0) = 5; z(4) = 13.
     Íà îòðåçêå ÎÂ x = 0 è 0 ≤ y ≤ 4. Åñëè x = 0, òî
                     z(y) = 2y2 – 8y + 5.
     Íàõîäèì íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôó êöèè
z îò ïåðåìåííîé y íà îòðåçêå [0; 4]:
           dz
              = 4 y − 8; 4y – 8; y=2; P2 (0 ; 2 ); P2 (0 ; 2 ) .
           dy
       òî÷êå Î(0; 0) çíà÷åíèå ôóíêöèè óæå áûëî íàéäå î.
Âû÷èñëèì çíà÷åíèå ôóíêöèè â òî÷êå Â: z(B) = z(0;4) = 5.
     Òåïåðü èññëåäóåì îòðåçîê ÀÂ. Óðàâíåíèå ïðÿ îé ÀÂ è å-
åò âèä y = 4 – x. Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå äëÿ ó â çàäà óþ
ôóíêöèþ z, ïîëó÷èì
      z= x2 + 2(4 – x)2 – 2x – 8(4 – x) + 5 = 3x2 – 10x + 5.

                                 — 25 —

Страницы