Математический анализ. Методические рекомендации. Бондарева Е.В. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 24 —
2.15. z = x
2
–2y
2
+4xy –6x+5 â òðåóãîëüèêå, îãðà è-
÷å î îñÿ è êîîðäè àò Î è Îó è ïðÿ îé x+ó =3.
2.16. z =2x
3
+4x
2
+y
2
–2xy â îáëàñòè, îãðàíè÷å îé ïà-
ðàáîëîé y = x
2
, ïðÿìîé y =4 è îñüþ (x ≥ 0).
2.17. z = x
2
+ xy –3x–y â ïðÿìîóãîëüíèêå 0 ≤ x ≤ 2,
0 ≤ y ≤3.
2.18. z = x
2
–2xy +3 â îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé ïàðàáîëîé
y=4–x
2
è îñüþ Îõ.
2.19. z = x
2
+2xy – y
2
–2x+2y+ 3 â òðåóãîëüíèêå, îãðà-
íè÷åííîì ïðÿìûìè y = 0, x = 2, y = x +2.
2.20. z = x
2
+ y
2
–6x+4y+2 â ïðÿìîóãîëüíèêå 0 ≤ x ≤4,
–3 ≤ y ≤ 2.
Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà
Íàéòè íàèáîëüøåå è íàèìåíü-
øåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè z = x
2
+2y
2
–
2x–8y+5 â çàìêíóòîì òðåóãîëüíè-
êå ÀÎÂ, îãðàíè÷åííîì îñÿìè êîîð-
äèíàò è ïðÿìîé x + y –4=0.
Ðåøåíèå. ×òîáû íàéòè íàèáîëü-
øåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíê-
öèè â çàäàííîé çàìêíóòîé îáëàñòè,
íåîáõîäèìî: 1) íàéòè ñòàöèîíàðíûå
òî÷êè, ëåæàùèå âíóòðè îáëàñòè, è âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ ôó ê-
öèè â ýòèõ òî÷êàõ; èññëåäîâàòü íà ýêñòðåìóì ýòè òî÷êè å ñëå-
äóåò; 2) íàéòè íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôó êöèè
íà ãðàíèöå îáëàñòè; åñëè ãðàíèöà ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ëè-
íèé, òî èññëåäîâàíèÿ ïðîâîäÿòñÿ äëÿ êàæäîãî ó÷àñòêà â îò-
äåëüíîñòè; 3) ñðàâíèòü ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè è óñòà-
íîâèòü íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â çàäà-
íîé çàìêíóòîé îáëàñòè.
Íàõîäèì ñòàöèîíàðíûå òî÷êè, ëåæàùèå âíóòðè çàäàîé
îáëàñòè:
;22 −= x
dx
dz
;
84
−=
y
dy
dz
.
      2.15. z = x2 – 2y2 + 4xy – 6x + 5 â òðåóãîëü èêå, îãðà è-
÷å î îñÿ è êîîðäè àò Î è Îó è ïðÿ îé x + ó = 3.
      2.16. z = 2x3 + 4x2 + y2 – 2xy â îáëàñòè, îãðàíè÷å îé ïà-
ðàáîëîé y = x2, ïðÿìîé y = 4 è îñüþ (x ≥ 0).
      2.17. z = x 2 + xy – 3x – y â ïðÿìîóãîëüíèêå 0 ≤ x ≤ 2,
0 ≤ y ≤3.
      2.18. z = x2 – 2xy + 3 â îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé ïàðàáîëîé
y = 4 – x2 è îñüþ Îõ.
      2.19. z = x2 + 2xy – y2 – 2x + 2y + 3 â òðåóãîëüíèêå, îãðà-
íè÷åííîì ïðÿìûìè y = 0, x = 2, y = x + 2.
      2.20. z = x2 + y2 – 6x + 4y + 2 â ïðÿìîóãîëüíèêå 0 ≤ x ≤4,
–3 ≤ y ≤ 2.
     Ðåøåíèå òèïîâîãî ïðèìåðà
     Íàéòè íàèáîëüøåå è íàèìåíü-
øåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè z = x2 + 2y2 –
 2x – 8y + 5 â çàìêíóòîì òðåóãîëüíè-
êå ÀÎÂ, îãðàíè÷åííîì îñÿìè êîîð-
äèíàò è ïðÿìîé x + y – 4 = 0.
     Ðåøåíèå. ×òîáû íàéòè íàèáîëü-
øåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíê-
öèè â çàäàííîé çàìêíóòîé îáëàñòè,
íåîáõîäèìî: 1) íàéòè ñòàöèîíàðíûå
òî÷êè, ëåæàùèå âíóòðè îáëàñòè, è âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ ôó ê-
öèè â ýòèõ òî÷êàõ; èññëåäîâàòü íà ýêñòðåìóì ýòè òî÷êè å ñëå-
äóåò; 2) íàéòè íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôó êöèè
íà ãðàíèöå îáëàñòè; åñëè ãðàíèöà ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ëè-
íèé, òî èññëåäîâàíèÿ ïðîâîäÿòñÿ äëÿ êàæäîãî ó÷àñòêà â îò-
äåëüíîñòè; 3) ñðàâíèòü ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè è óñòà-
íîâèòü íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â çàäà -
íîé çàìêíóòîé îáëàñòè.
     Íàõîäèì ñòàöèîíàðíûå òî÷êè, ëåæàùèå âíóòðè çàäà îé
îáëàñòè:
                    dz             dz
                       = 2 x − 2;     = 4 y − 8;.
                    dx            dy


                              — 24 —

Страницы