Математический анализ. Бондарева Е.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 15 —
Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ
Ïðèìåð 1.
2
lim
→x
3
1
9
3
1222
5262
12
56
2
2
2
2
−=−=
−+⋅
+⋅−
=
−+
+−
xx
xx
.
Ïðèìåð 2.
3
lim
→x
".
0
0
"
633
93332
6
932
2
2
2
2
=
−−
−⋅−⋅
=
−−
−−
xx
xx
Ðåøåíèå. Ïðè ïîäñòàíîâêå âìåñòî ïåðåìåííîé x åå ïðå-
äåëüíîãî çíà÷åíèÿ 3 ïîëó÷àåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòü âèäà
"
0
0
"
. Äëÿ
èçáàâëåíèÿ îò ýòîãî òèïà íåîïðåäåëåííîñòè â íàøå ñëó÷àå
ïðåäñòàâèì êâàäðàòíûå òðåõ÷ëåíû ÷èñëèòåëÿ è çíà å àòåëÿ â
âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé, âîñïîëüçîâàâøèñü
èçâåñòíîé ôîðìóëîé
ax
2
+ bx + c = a (x – x
1
)(x – x
2
),
ãäå x
1
è x
2
—êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà
ax
2
+ bx + c.
Ó íàñ
2x
2
–3x–9=2(x– 3)(x +
2
3
),
òàê êàê äèñêðèìèíàíò êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà D = 9 – 4 ⋅ 2( 9)=81,
à ñëåäîâàòåëüíî, x
1
=3, x
2
=
2
3
−
.
Àíàëîãè÷íî x
2
– x –6=(x– 3)(x + 2).
Òåïåðü óñëîâèå ïðèìåðà ìîæíî ïåðåïèñàòü â äðóãî âèäå
è ïðîäîëæèòü ðåøåíèå:
3
lim
→x
.
5
9
23
332
2
32
lim
)2)(3(
)
2
3
)(3(2
lim
6
932
33
2
2
=
+
+⋅
=
+
+
=
+−
+−
=
−−
−−
→→
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
Ïðèìåð 3.
∞→x
lim
"."
523
42
2
2
∞
∞
=
+−
−+
xx
xx
Ðåøåíèå. Çäåñü ñòàëêèâàåìñÿ ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ
,""
∞
∞
èçáàâèòüñÿ îò êîòîðîé ìîæíî âûíåñåíèåì çà ñêîáêè â ÷èñëè-
òåëå è çíàìåíàòåëå äðîáè ñòàðøåé ñòåïåíè ïåðååíîé:
     Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ
                   x2 − 6 x + 5 2 2 − 6 ⋅ 2 + 5     3     1
     Ïðèìåð 1. lim               =                =− =− .
               x→2 2 x2 + x − 1    2 ⋅ 2 + 2 −1
                                        2
                                                    9     3
                   2 x2 − 3 x − 9 2 ⋅ 32 − 3 ⋅ 3 − 9 0
     Ïðèìåð 2. lim                =                 =" ".
               x→3   x2 − x − 6         32 − 3 − 6    0
     Ðåøåíèå. Ïðè ïîäñòàíîâêå âìåñòî ïåðåìåííîé x åå ïðå-
                                                                     0
äåëüíîãî çíà÷åíèÿ 3 ïîëó÷àåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòü âèäà " " . Äëÿ
                                                                     0
èçáàâëåíèÿ îò ýòîãî òèïà íåîïðåäåëåííîñòè â íàøå ñëó÷àå
ïðåäñòàâèì êâàäðàòíûå òðåõ÷ëåíû ÷èñëèòåëÿ è çíà å àòåëÿ â
âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé, âîñïîëüçîâàâøèñü
èçâåñòíîé ôîðìóëîé
               ax2 + bx + c = a (x – x1)(x – x2),
ãäå x1 è x2 — êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà
                ax2 + bx + c.
     Ó íàñ
                                                    3
                   2x 2 – 3x – 9 = 2(x – 3)(x +       ),
                                                    2
òàê êàê äèñêðèìèíàíò êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà D = 9 – 4 ⋅ 2 ( 9) = 81,
                                    3
à ñëåäîâàòåëüíî, x1 = 3, x2 = − .
                                    2
    Àíàëîãè÷íî x2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2).
    Òåïåðü óñëîâèå ïðèìåðà ìîæíî ïåðåïèñàòü â äðóãî                      âèäå
è ïðîäîëæèòü ðåøåíèå:
                                         3
                          2( x − 3)( x + )
      2 x2 − 3x − 9                      2 = lim 2 x + 3 = 2 ⋅ 3 + 3 = 9 .
   lim 2            = lim
   x→3 x − x − 6      x→3 ( x − 3)( x + 2)    x→3 x + 2     3+ 2       5
                   2 x2 + x − 4 ∞
                                =" ".
     Ïðèìåð 3. lim 3x2 − 2 x + 5 ∞
               x→∞

                                                                          ∞
     Ðåøåíèå. Çäåñü ñòàëêèâàåìñÿ ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ " ",
                                                                          ∞
èçáàâèòüñÿ îò êîòîðîé ìîæíî âûíåñåíèåì çà ñêîáêè â ÷èñëè-
òåëå è çíàìåíàòåëå äðîáè ñòàðøåé ñòåïåíè ïåðå åí îé:


                                  — 15 —

Страницы