Математический анализ. Бондарева Е.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 16 —
∞→x
lim
.
3
2
52
3
41
2
lim
523
42
2
2
2
2
2
2
=
+−
++
=
+−
++
∞→
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x
Ïðèìåð 4.
.
4tg
2sin
lim
2
x
xx
x ∞→
Ðåøåíèå.  äàííîì ñëó÷àå äëÿ îñâîáîæäåíèÿ îò åîïðåäå-
ëåííîñòè áóäåì èñïîëüçîâàòü ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë è
îäíî èç åãî î÷åâèäíûõ ñëåäñòâèé:
1
Æ
Æsin
lim
0
=
→α
èëè
1
Æ
tgÆ
lim
0
=
→α
.
Ðåøåíèå ïðèìåðà áóäåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùè îáðàçî :
.
8
1
2
1
4tg
4
2
2sin
4tg
4
4
1
lim
4tg4tg
2sin
lim
4tg
2sin
00
2
==
⋅
=
→→
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x
xx
xx
Ïðèìåð 5.
2
lim
→x
.
2
35
2
−
−+
x
x
Ðåøåíèå. Êîãäà
2→x
÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü è åþò ñâîè
ïðåäåëîì íóëü, à ïîòîìó îíè ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íî àëû è
âåëè÷èíàìè ïðè 2→x .
Äëÿ òîãî ÷òîáû ðåøèòü âîïðîñ î ïðåäåëå èõ îò îøå èÿ,
óìíîæèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè íà âûðàæå èå, ñî-
ïðÿæåííîå ÷èñëèòåëþ, òî åñòü íà
35
2
−+x
. Áóäå èåòü
35
2
lim
)35)(2(
)2)(2(
lim
)35)(2(
4
lim
)35)(2(
95
lim
)35)(2(
)35)(35(
lim
2
35
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
=
++
+
=
++−
+−
=
++−
−
=
=
++−
−+
=
++−
++−+
=
−
−+
→→→
→→→
xxx
xxx
x
x
xx
xx
xx
x
xx
x
xx
xx
x
x
.
3
2
6
4
39
4
352
4
35limlim
22
3lim5lim
2limlim
)35(lim
)2(lim
2
2
2
22
2
2
22
2
2
2
==
+
=
++
=
=
++
+
=
++
+
=
++
+
=
→→→→
→→
→
→
xxxx
xx
x
x
xx
x
x
x
                                                                                      
                                       x 2 + 1 +                                  4 
                                        2

                                            x                                    x  2
                                                                                     2
                   2 x2 + x + 4                                                       = .
               lim 3x2 − 2 x + 5 = lim  2
               x→∞
                                   x→∞
                                       x 3 − 2 +                                  5  3
                                             x                                    x 
                                                                                    2

                                           
                       x sin 2x
         Ïðèìåð 4. lim
                   x→ ∞ tg 2 4 x
                                 .

    Ðåøåíèå.  äàííîì ñëó÷àå äëÿ îñâîáîæäåíèÿ îò åîïðåäå-
ëåííîñòè áóäåì èñïîëüçîâàòü ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë è
                                      sin Æ              tgÆ
îäíî èç åãî î÷åâèäíûõ ñëåäñòâèé: lim        = 1 èëè lim0     = 1.
                                 α →0               α→
                                        Æ                 Æ
   Ðåøåíèå ïðèìåðà áóäåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùè îáðàçî :
          x sin 2 x            x sin 2x             1 4x sin 2 x 4 x 1 1
                    = lim                  = lim                      = .
           tg 4x
              2        x → 0 tg4 x ⋅ tg4 x    x → 0 4 tg4 x 2x tg 4x 2 8
                         x2 + 5 − 3
         Ïðèìåð 5. lim              .
                    x→2   x− 2
         Ðåøåíèå. Êîãäà x → 2 ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü è åþò ñâîè
ïðåäåëîì íóëü, à ïîòîìó îíè ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íî àëû è
âåëè÷èíàìè ïðè x → 2 .
    Äëÿ òîãî ÷òîáû ðåøèòü âîïðîñ î ïðåäåëå èõ îò îøå èÿ,
óìíîæèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè íà âûðàæå èå, ñî-
ïðÿæåííîå ÷èñëèòåëþ, òî åñòü íà                                             x2 + 5 − 3 . Áóäå è åòü

         x2 + 5 − 3        ( x2 + 5 − 3)( x2 + 5 + 3)               x2 + 5 − 9
lim                 = lim                             = lim                        =
x→ 2      x− 2        x→ 2
                             ( x − 2)( x2 + 5 + 3)      x→ 2
                                                             ( x − 2)( x2 + 5 + 3)
                     x2 − 4                                  ( x − 2)( x + 2)                     x+ 2
= lim                                   = lim                                       = lim                    =
  x→ 2
         ( x − 2)( x + 5 + 3)  2           x→ 2
                                                   ( x − 2)( x + 5 + 3) 2                x→ 2
                                                                                                x +5 +3
                                                                                                  2



                    lim( x + 2)                   lim x + lim 2                           2+2
         =          x→ 2
                                       =          x→ 2          x→ 2
                                                                              =                          =
             lim( x + 5 + 3)
                           2
                                           lim x + 5 + lim 3
                                                         2
                                                                                  lim x + lim 5 + 3
                                                                                          2
             x→ 2                          x→ 2                        x→ 2       x→ 2          x→ 2

                      4                 4   4 2
         =                         =       = = .
               2 +5 +3
                2
                                       9 +3 6 3



                                                         — 16 —

Страницы