Математический анализ. Бондарева Е.В. - 19 стр.

                                              4
                           1                                         x 3 + ctgx
     3.19. à) y =  2 x 5 − 7 + 5  ;                         á) y =               ;
                          x                                             3x 5 − 1
            â) y = e tgx ⋅ arcctg2 x ;                        ã) y = arctg ln(8x + 3).

                    (
     3.20. à) y = 7 x 4 − 53 x + 12 ;             )
                                                  6
                                                              á) y =
                                                                        3 − x5
                                                                       cos 4 x
                                                                               ;

            â) y = 3arccos x ⋅ tg3x ;      ã) y = ln arcsin(3x 8).
    Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ
    Ïðè ðåøåíèè ïîñëåäóþùèõ ïðèìåðîâ, êðî å òàáëèöû
ïðîèçâîäíûõ, áóäóò èñïîëüçîâàíû èçâåñòíûå ïðàâèëà äèôôå-
ðåíöèðîâàíèÿ ñóììû, ðàçíîñòè, ïðîèçâåäåíèÿ, äðîáè è òåî-
ðåìà î ïðîèçâîäíîé ñëîæíîé ôóíêöèè:
     à) [ f (x) ± ϕ(x)]′ = f ′(x) ± ϕ′(x);
      á) [ f (x)ϕ(x)]′ = f& ′(x)ϕ(x) + f (x)ϕ′(x);
                    ′
          f (x)     f ′(x )ϕ(x) − f (x)ϕ′(x))
      â)          =                           ;
          ϕ (x )             [ϕ(x)]2
     ã) åñëè çàäàíà ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ y = f(u), ãäå u = ϕ(x), òî
åñòü y = f [ϕ (x)]; åñëè êàæäàÿ èç ôóíêöèé y = f(u) è u = ϕ(x) äèô-
                                                                dy dy du
ôåðåíöèðóåìà ïî ñâîåìó àðãóìåíòó, òî                              =  ⋅ .
                                                                dx du dx
                            (                         )
                                                      6
     Ïðèìåð 1. y = 2 x5 − 3 x3 + 1 = u 6 , u = 2 x5 3 x3 + 1;

             dy        du                3
                                                           3
                                                                   
                = 6u 5    = 6 2 x5 − 3 x2 + 1 2 x5 − 3x2 + 1 =
             dx        dx                                       

                                                      (                  )
                        5
                  3
                                  9 1                        5         9  
   = 6 2 x5 − 3x 2 + 1 10 x 4 − x 2  = 6 2 x 5 − 3 x 3 + 1 10 x 4 −   x .
                                 2                                    2  
                            cos7 x
     Ïðèìåð 2. y =                    ;
                            1 − 3x4
           dy (cos 7 x) ′ ⋅ 1 − 3 x4 − cos 7 x ⋅
              =
                                                                 ( 1 − 3 x )′ =
                                                                             4


           dx                     1 − 3 x4(2
                                                          )
                                          — 19 —