Математический анализ. Бондарева Е.В. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 20 —
=
−
′
−
−
−−
′
⋅−
=
4
4
4
4
31
)31(
312
1
7cos31)7(7sin
x
x
x
xxxx
()
.
3131
7cos6)31(7sin7
31
)12(
312
7cos
317sin7
44
34
4
3
4
4
xx
xxxx
x
x
x
x
xx
−−
+−−
=
=
−
−⋅
−
−−−
=
Ïðèìåð 3.
xy
x
5sin3
tg
= ;
dx
dy
=
()
x
x
5sin3
tg
′
+
)5(sin3
tg
′
x
x
x
x
sin
cos
1
3ln3
2
tg
⋅=
.
Ïðèìåð 4. y = ln arcsin6x;
()
()
()
.
361
6
arcsin6
1
6
61
1
arcsin6
1
6arcsin
arcsin6
1
=
2
2
x
x
x
x
x
x
xdx
dy
−
=
=
′
−
=
′
Çàäàíèå 4. Èññëåäîâàòü ìåòîäàìè äèôôåðåíöèàëü îãî èñ-
÷èñëåíèÿ çàäàííûå ôóíêöèè è ïîñòðîèòü èõ ãðàôèêè. Èññëåäî-
âàíèå ôóíêöèé è ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîâî-
äèòü ïî ñëåäóþùåé ñõåìå:
1) íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè D(y);
2) èññëåäîâàòü ôóíêöèþ íà íåïðåðûâíîñòü; íàéòè òî÷êè
ðàçðûâà ôóíêöèè è åå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû â òî÷êàõ
ðàçðûâà;
3) âûÿñíèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ ÷åòíîé èëè å÷åò îé;
4) íàéòè òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñÿ è êîîðäè àò
(íóëè ôóíêöèè);
5) íàéòè òî÷êè ýêñòðåìóìà ôóíêöèè è îïðåäåëèòü è òåð-
âàëû åå ìîíîòîííîñòè;
6) íàéòè òî÷êè ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè è îïðåäåëèòü
èíòåðâàëû âûïóêëîñòè è âîãíóòîñòè ãðàôèêà;
7) íàéòè àñèìïòîòû ãðàôèêà;
8) ïîñòðîèòü ãðàôèê, èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùèõ
èññëåäîâàíèé;
                                                       1
         − sin 7 x ⋅ ( 7 x) ′ 1 − 3 x4 − cos 7 x                (1 − 3 x4 ) ′
     =                                             2 1 − 3 x4               =
                                    1 − 3 x4
                                             cos 7 x
                 − 7 sin 7 x 1 − 3 x4 −                 ⋅ (−12 x3 )
             =                            2   1 − 3 x4
                                                                    =
                                     1 − 3 x4
                 − 7 sin 7 x(1 − 3 x4 ) + 6 x3 cos 7 x
             =                                         .
                         (1 − 3x4 ) 1 − 3x4
    Ïðèìåð 3. y = 3tgx sin 5x ;
               ′                                                         1
    = (3 tg x ) sin 5 x + 3 tg x (sin 5 x ) ′ = 3 tg x ln 3 ⋅
 dy
                                                                              sin .
 dx                                                                   cos 2 x
    Ïðèìåð 4. y = ln arcsin6x;

             dy
                =
                    1
                         (arcsin 6 x)′ = 1          1
                                                             (6 x)′ =
             dx arcsin6x                arcsin6x 1 − (6 x )2
                 1        6
         =                        .
             arcsin6 x 1 − 36 x 2

     Çàäàíèå 4. Èññëåäîâàòü ìåòîäàìè äèôôåðåíöèàëü îãî èñ-
÷èñëåíèÿ çàäàííûå ôóíêöèè è ïîñòðîèòü èõ ãðàôèêè. Èññëåäî-
âàíèå ôóíêöèé è ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîâî-
äèòü ïî ñëåäóþùåé ñõåìå:
     1) íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè D(y);
     2) èññëåäîâàòü ôóíêöèþ íà íåïðåðûâíîñòü; íàéòè òî÷êè
        ðàçðûâà ôóíêöèè è åå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû â òî÷êàõ
        ðàçðûâà;
     3) âûÿñíèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ ÷åòíîé èëè å÷åò îé;
     4) íàéòè òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñÿ è êîîðäè àò
        (íóëè ôóíêöèè);
     5) íàéòè òî÷êè ýêñòðåìóìà ôóíêöèè è îïðåäåëèòü è òåð-
        âàëû åå ìîíîòîííîñòè;
     6) íàéòè òî÷êè ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè è îïðåäåëèòü
        èíòåðâàëû âûïóêëîñòè è âîãíóòîñòè ãðàôèêà;
     7) íàéòè àñèìïòîòû ãðàôèêà;
     8) ïîñòðîèòü ãðàôèê, èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùèõ
        èññëåäîâàíèé;

                                      — 20 —

Страницы