Математический анализ. Бондарева Е.В. - 23 стр.

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     4.20. à) y =      ( x − 8 x 2 + 5 x + 14)     α = −2 ; β = 3
                     3
                         6
               á) y = 2
                      x +3
      Ðåøåíèå òèïîâûõ ïðèìåðîâ
                      1
      Ïðèìåð 1. y = ( x3 + 9 x2 + 15 x − 9) .
                      4
      Ðåøåíèå. 1) Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ äàííîé ôó êöèè ÿâ-
ëÿþòñÿ âñå äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà x, òî åñòü D(y):
x ∈ (−∞, ∞), à ýòî çíà÷èò, ÷òî ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà âñåé ÷èñ-
ëîâîé ïðÿìîé è åå ãðàôèê íå èìååò âåðòèêàëüíûõ àñè ïòîò.
      2) Èññëåäóåì ôóíêöèþ íà ýêñòðåìóì è èíòåðâàëû î-
íîòîííîñòè. Ñ ýòîé öåëüþ íàéäåì åå ïðîèçâîäíóþ è ïðèðàâ-
íÿåì ê íóëþ:
                      1
                  y′ = (3x2 + 18 x + 15); x2 + 6 x + 5 = 0 .
                      4
      Ðåøàÿ ïîëó÷åííîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå, äåëàå âûâîä,
÷òî ôóíêöèÿ èìååò äâå êðèòè÷åñêèå òî÷êè 1-ãî ðîäà: x1 = 5,
x2 = –1. Ðàçáèâàåì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòèìè òî÷êà è à ÷àñ-
òè è ïî èçìåíåíèþ çíàêà ïðîèçâîäíîé â íèõ âûÿâëÿå ïðî å-
æóòêè ìîíîòîííîñòè è íàëè÷èå ýêñòðåìóìà:

        x        ( − ∞, − 5)     5     ( 5, 1)       1     ( 1, +∞ )
      f ′(x)        +            0                   0         +
       f(x)                    max                  min
                           1
          y max = y( −5) = [( −5) 3 + 9( −5) 2 + 15( −5) − 9] = 4;
                           4
                          1
          y min = y( −1) = [( −1) 3 + 9( −1) 2 + 15( −1) − 9] = −4.
                          4
    3) Îïðåäåëèì òî÷êè ïåðåãèáà ãðàôèêà ôóíêöèè è è òåð-
âàëû åãî âûïóêëîñòè è âîãíóòîñòè. Äëÿ ýòîãî íàéäå âòîðóþ
ïðîèçâîäíóþ çàäàííîé ôóíêöèè è ïðèðàâíÿåì åå ê óëþ:
                        1
                   y′′ = (6 x + 18);      x + 3 = 0, x = 3.
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