Математический анализ. Бондарева Е.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 25 —
Î÷åâèäî,
[]
4)(min
0;3
−=
−
xf
;
[]
0)(max
0;3
=
−
xf
.
Ðèñ. 1
Ïðèìåð 2.
4
20
2
−
+
=
x
x
y
.
Ðåøåíèå. 1) Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
D(y) =
{
x ∈ (
∞
; 4)
∪
(4; +
∞
)
}
.
2) Èññëåäîâàíèå íà íåïðåðûâíîñòü è êëàññèôèêàöèÿ òî-
÷åê ðàçðûâà. Çàäàííàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà âñþäó, êðî å òî÷-
êè x = 4. Âû÷èñëèì åå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû â ýòîé òî÷êå:
−∞=
−
+
=
−→−→
4
20
lim)(lim
2
0404
x
x
xf
zz
;
+∞=
−
+
=
+→+→
4
20
lim)(lim
2
0404
x
x
xf
xx
.
Òàêèì îáðàçîì, òî÷êà x = 4 ÿâëÿåòñÿ äëÿ çàäàííîé ôó ê-
öèè òî÷êîé ðàçðûâà âòîðîãî ðîäà, à ïðÿìàÿ x = 4 — âåðòèêàëü-
íîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà.
3) Èññëåäîâàíèå íà ýêñòðåìóì è ïðîìåæóòêè îíîòî îñòè.
() ()
2
2
2
2
4
208
4
)20()4(2
−
−−
=
−
+−−
=
′
x
xx
x
xxx
y
;
()
;0
4
208
2
2
=
−
−−
x
xx
208
2
−−
xx
,
2
1
−=
x
,
10
2
=
x
.
    Î÷åâèä î,
                 min f ( x ) = −4 ;             max f ( x) = 0 .
                 −[   3; 0 ]                    [−3; 0 ]




                                       Ðèñ. 1
                           x + 20
                               2

    Ïðèìåð 2. y =                 .
                            x− 4
     Ðåøåíèå. 1) Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ
                 D(y) = {x ∈ ( ∞ ; 4) ∪ (4; + ∞ )}.
     2) Èññëåäîâàíèå íà íåïðåðûâíîñòü è êëàññèôèêàöèÿ òî-
÷åê ðàçðûâà. Çàäàííàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà âñþäó, êðî å òî÷-
êè x = 4. Âû÷èñëèì åå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû â ýòîé òî÷êå:
                                               x2 + 20
                          lim f ( x) = lim             = −∞ ;
                         z→ 4− 0       z→ 4 − 0 x − 4

                                               x2 + 20
                          lim f ( x) = lim             = +∞ .
                         x→ 4 + 0      x→ 4 + 0 x − 4

    Òàêèì îáðàçîì, òî÷êà x = 4 ÿâëÿåòñÿ äëÿ çàäàííîé ôó ê-
öèè òî÷êîé ðàçðûâà âòîðîãî ðîäà, à ïðÿìàÿ x = 4 — âåðòèêàëü-
íîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà.
    3) Èññëåäîâàíèå íà ýêñòðåìóì è ïðîìåæóòêè îíîòî îñòè.

                       2 x( x − 4) − ( x2 + 20) x2 − 8 x − 20 ;
               y′ =                            =
                               (x − 4)2           (x − 4)2
    x2 − 8 x − 20
                  = 0;             x2 − 8 x − 20 ,         x1 = −2 ,   x2 = 10 .
      (x − 4 )2



                                      — 25 —

Страницы