Математический анализ. Бондарева Е.В. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 26 —
x
( ∞, 2)
2 ( 2, 4) 4 (4, 10) 10
()
∞+
,10
()
xf
′
+0
íå
ñóùåñò-
âóåò
0+
f(x)max min
(
)
42
max
−=−= yy
;
(
)
2010
min
== yy
.
4) Èññëåäîâàíèå ãðàôèêà íà âûïóêëîñòü, âîãíóòîñòü, òî÷êè
ïåðåãèáà.
()()()
()
()
=
−
−−−−−−
=
′′
4
2
2
4
20842482
x
xxxxx
y
()()
()
() ()
.
4
36
4
208442
34
2
2
][
−
=
−
−−−−−
=
xx
xxxx
Òàê êàê
0≠
′′
y
, òî ãðàôèê çàäàííîé ôóíêöèè òî÷åê ïåðå-
ãèáà íå èìååò. Îñòàåòñÿ âûÿñíèòü âîïðîñ îá èíòåðâàëàõ åãî âû-
ïóêëîñòè, âîãíóòîñòè:
x
(
−∞
, 4)
4
(4, +
∞
)
()
xf
′′
−
íå
ñóùåñò-
âóåò
+
()
xf
∩∪
5) Èññëåäîâàíèå ãðàôèêà íà íàëè÷èå íàêëîííûõ àñèïòîò.
()
()()
.4
4
204
lim
4
20
limlim
;1
4
1
20
1
lim
4
20
limlim
2
2
2
2
2
2
=
−
+
=
−
−
+
=−=
=
−
+
=
−
+
==
∞→∞→∞→
∞→∞→∞→
x
x
x
x
x
kxxfb
x
x
x
x
xx
x
x
xf
k
xxx
xxx
Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìàÿ y = x + 4 — íàêëîííàÿ àñèïòîòà
ãðàôèêà.
    x       ( ∞, 2)         2    ( 2, 4)              4       (4, 10)    10      (10, + ∞ )
                                                   íå
  f ′(x )     +             0                   ñóùåñò-                      0      +
                                                  âóåò
   f(x)                 max                                             min
                  ymax = y(− 2 ) = − 4 ;              ymin = y(10 ) = 20 .
     4) Èññëåäîâàíèå ãðàôèêà íà âûïóêëîñòü, âîãíóòîñòü, òî÷êè
ïåðåãèáà.
                   (2 x − 8)(x − 4 )2 − 2(x − 4 )(x 2 − 8 x − 20 ) =
               y ′′ =
                                      (x − 4 )4
                2(x − 4)[(x − 4) − (x − 8x − 20)]
                                       2        2
                                                             36
              =                                         =           .
                              (x − 4)       4
                                                          (x − 4)          3


     Òàê êàê y′′ ≠ 0 , òî ãðàôèê çàäàííîé ôóíêöèè òî÷åê ïåðå-
ãèáà íå èìååò. Îñòàåòñÿ âûÿñíèòü âîïðîñ îá èíòåðâàëàõ åãî âû-
ïóêëîñòè, âîãíóòîñòè:

                    x           (−∞, 4)                4         (4, +∞)
                                                       íå
                  f ′′(x)          −                ñóùåñò-         +
                                                      âóåò
                  f (x)           ∩                                 ∪
        5) Èññëåäîâàíèå ãðàôèêà íà íàëè÷èå íàêëîííûõ àñè ïòîò.
                                                  20 
                                              x2 1 + 2 
                   f (x)        x + 20
                                 2
                                                     x 
           k = lim       = lim 2       = lim             = 1;
               x→∞   x     x→ ∞ x − 4x   x→ ∞
                                                2    4
                                              x 1 − 
                                                     x
                                  x2 + 20            4 x + 20
      b = lim( f (x) − kx) = lim         − x = lim          = 4.
          x→∞                x→∞
                                  x− 4        →∞ x − 4
                                                   x

    Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìàÿ y = x + 4 — íàêëîííàÿ àñè ïòîòà
ãðàôèêà.




                                           — 26 —

Страницы