Математический анализ. Бондарева Е.В. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВолГУ | Волгоград

Составители: 

Рубрика: 

— 24 —
Èòàê, ôó êöèÿ è ååò îä ó êðèòè÷åñêóþ òî÷êó 2-ãî ðîäà:
x = –3. Ðàçîáüå îáëàñòü îïðåäåëå èÿ ïîëó÷å îé òî÷êîé à ÷à-
ñòè, â êàæäîé èç êîòîðûõ óñòàíîâè çíàê âòîðîé ïðîèçâîä îé:
x
3,( −−∞
)
3
),3( ∞+−
)(xf
′′
0+
f(x)
∩
òî÷êà
ïåðåãèáà
∪
Çíà÷åíèå x = –3 ÿâëÿåòñÿ àáñöèññîé òî÷êè ïåðåãèáà ãðà-
ôèêà ôóíêöèè, à îðäèíàòà ýòîé òî÷êè
y(3) =
0]9)3(15)3(9)3[(
4
1
23
=−−+−+−
.
4) Âûÿñíèì íàëè÷èå ó ãðàôèêà çàäàííîé ôóíêöèè à-
êëîííûõ àñèìïòîò. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ óðàâíå èÿ àñè -
ïòîòû y = kx + b âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé
;
)(
lim
x
xf
k
x
∞→
= ))((lim kxxfb
x
−=
∞→
.
Èìååì
x
xxx
k
x
)9159(
4
1
lim
23
−++
=
∞→
=
.)
9
159(
4
1
lim
2
∞=−++
∞→
x
xx
x
Òàêèì îáðàçîì, ó ãðàôèêà çàäàííîé ôóíêöèè íàêëî ûõ
àñèìïòîò íåò.
5) Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà â âûáðàííîé ñèñòå å êîîðäè àò
èçîáðàçèì òî÷êè ìàêñèìóìà À
1
(–5; 4), ìèíèìóìà À
2
(–1; 4), ïå-
ðåãèáà À
3
(–3; 0) è òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ Oy À
4
(0;
4
9
–
).
Ñ ó÷åòîì ðåçóëüòàòîâ ïðåäûäóùèõ èññëåäîâàíèé ïîñòðîè êðè-
âóþ (ñì. ðèñ. 1).
6) Íàéäåì íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ çàäàîé
ôóíêöèè íà îòðåçêå [–3; 0]. Äëÿ ýòîãî ïîñ÷èòàå çíà÷å èÿ çà-
äàííîé ôóíêöèè íà êîíöàõ ýòîãî îòðåçêà, â êðèòè÷åñêèõ òî÷-
êàõ 1-ãî ðîäà, ïîïàâøèõ íà îòðåçîê, è ñðàâíè ðåçóëüòàòû:
y(3) = 0; y( 1) = 4; y(0)=
4
9
−
.
     Èòàê, ôó êöèÿ è ååò îä ó êðèòè÷åñêóþ òî÷êó 2-ãî ðîäà:
x = –3. Ðàçîáüå îáëàñòü îïðåäåëå èÿ ïîëó÷å îé òî÷êîé à ÷à-
ñòè, â êàæäîé èç êîòîðûõ óñòàíîâè çíàê âòîðîé ïðîèçâîä îé:
                x         ( −∞, − 3 )           3          ( −3, + ∞ )
             f ′′(x)                         0                   +
                                           òî÷êà
             f(x)                ∩                               ∪
                                          ïåðåãèáà
    Çíà÷åíèå x = –3 ÿâëÿåòñÿ àáñöèññîé òî÷êè ïåðåãèáà ãðà-
ôèêà ôóíêöèè, à îðäèíàòà ýòîé òî÷êè
                           1
              y( 3) =        [( −3) 3 + 9( −3) 2 + 15(−3) − 9] = 0.
                           4
    4) Âûÿñíèì íàëè÷èå ó ãðàôèêà çàäàííîé ôóíêöèè à-
êëîííûõ àñèìïòîò. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ óðàâíå èÿ àñè -
ïòîòû y = kx + b âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé
                                 f ( x)
                       k = lim          ; b = lim( f ( x) − kx) .
                          x→ ∞     x          x→ ∞
     Èìååì
            1 3
              ( x + 9 x2 + 15x − 9)
            4                              1 2              9
    k = lim                         = lim    ( x + 9x + 15 − ) = ∞.
        x→∞            x              x→ ∞
                                           4                x
     Òàêèì îáðàçîì, ó ãðàôèêà çàäàííîé ôóíêöèè íàêëî ûõ
àñèìïòîò íåò.
     5) Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà â âûáðàííîé ñèñòå å êîîðäè àò
èçîáðàçèì òî÷êè ìàêñèìóìà À1(–5; 4), ìèíèìóìà À2(–1; 4), ïå-
                                                              9
ðåãèáà À3(–3; 0) è òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêà ñ îñüþ Oy À4(0; – ).
                                                              4
Ñ ó÷åòîì ðåçóëüòàòîâ ïðåäûäóùèõ èññëåäîâàíèé ïîñòðîè êðè-
âóþ (ñì. ðèñ. 1).
     6) Íàéäåì íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ çàäà îé
ôóíêöèè íà îòðåçêå [–3; 0]. Äëÿ ýòîãî ïîñ÷èòàå çíà÷å èÿ çà-
äàííîé ôóíêöèè íà êîíöàõ ýòîãî îòðåçêà, â êðèòè÷åñêèõ òî÷-
êàõ 1-ãî ðîäà, ïîïàâøèõ íà îòðåçîê, è ñðàâíè ðåçóëüòàòû:
                                                                 9
               y( 3) = 0;            y( 1) = 4;        y(0)= −     .
                                                                 4


                                        — 24 —

Страницы