Математический анализ. Бондарева Е.В. - 8 стр.

       Òåìà III. Èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé
     Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà: [1], ãë. V, 1—5, 9—11; [2],
     ÷. I, ãë. 6, § 2.
     Èçó÷åíèå ýòîé òåìû ñëåäóåò íà÷àòü ñ óñâîåíèÿ ïî ÿòèé
âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ ôóíêöèè, ìàêñèìóìà è èíè ó à ôó -
êöèè, âûïóêëîñòè è âîãíóòîñòè êðèâîé. Îáðàòèòå âíè à èå à
ñëåäóþùèå îáñòîÿòåëüñòâà:
     1) ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà îòðåçêå, ìîæåò äîñòèãàòü
ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà òîëüêî ïðè çíà÷åíèÿõ , çàêëþ÷å ûõ
âíóòðè ðàññìàòðèâàåìîãî îòðåçêà;
     2) íå ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî ìàêñèìóì è ìèíè ó ôó êöèè
ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî åå íàèáîëüøèì è íàè åíüøè ç à-
÷åíèÿìè íà ðàññìàòðèâàåìîì îòðåçêå (íàïðèìåð, â òî÷êå àê-
ñèìóìà ôóíêöèÿ èìååò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ëèøü ïî ñðàâ å-
íèþ ñ òåìè çíà÷åíèÿìè, êîòîðûå îíà èìååò âî âñåõ òî÷êàõ,
äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê òî÷êå ìàêñèìóìà).
     Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè ñëåäó-
åò ó÷åñòü, ÷òî ïðèâåäåííûé â ôîðìóëèðîâêå çàäà÷ ¹ 4.1—4.4
ïîðÿäîê èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèé ìîæåò áûòü íàðóøåí: òàê, ç à-
íèå îäíèõ ñâîéñòâ ôóíêöèè ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä î äðóãèõ
åå ñâîéñòâàõ. Íàïðèìåð, åñëè ïðè èññëåäîâàíèè òî÷åê ðàçðûâà
ôóíêöèè âûÿñíåíî, ÷òî îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû ôó êöèè â
íåêîòîðîé òî÷êå áåñêîíå÷íû, òî ýòî îçíà÷àåò íàëè÷èå â ýòîé
òî÷êå âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòû ãðàôèêà.
     Èíîãäà öåëåñîîáðàçíî íàìå÷àòü ýëåìåíòû ãðàôèêà ïàðàë-
ëåëüíî ñ èññëåäîâàíèåì ôóíêöèè.
    Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè
    1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ òåîðåìà Ëàãðàíæà?
    2. Êàêîâû ïðèçíàêè âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ ôó êöèè?
    3. Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ y = cos (x) – õ óáûâàåò â ëþáî
    ïðîìåæóòêå.
    4. Ñôîðìóëèðóéòå ïðàâèëà íàõîæäåíèÿ ýêñòðå ó îâ
    ôóíêöèè.
    5. Ïðèâåäèòå ïðèìåð, ïîêàçûâàþùèé, ÷òî îáðàùå èå â
    íóëü ïðîèçâîäíîé íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íû óñëîâèå
    ýêñòðåìóìà ôóíêöèè.
    6. Êàê íàéòè èíòåðâàëû âûïóêëîñòè, âîãíóòîñòè, òî÷êè
    ïåðåãèáà êðèâîé?

                          —8—