Моделирование зонной структуры полупроводников. Бормонтов Е.Н - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
Любой реальный кристалл является ограниченным. Это
обстоятельство приводит к тому, что волновой вектор электрона может
принимать только дискретный ряд значений. Для того, чтобы подсчитать
число допустимых значений k в зоне Бриллюэна, необходимо учесть
граничные условия. Воспользуемся для этого циклическими граничными
условиями Борна – Кармана.
Предположим, что кристалл имеет форму параллелепипеда с
размерами по осям x, y, z соответственно L
x
, L
y
, L
z
. Пусть решетка простая
кубическая с параметром а. Тогда
L
x
= N
x
a ; L
y
= N
y
a ; L
z
= N
z
a , (14)
где N
x
,
N
y
, N
z
– число атомов, располагающихся на ребрах L
x
, L
y
и L
z
соответственно . Потребуем , чтобы волновая функция удовлетворяла
условиям Борна – Кармана:
(
)
(
)
.Lz,Ly,Lxz,y,x
zyx
+
+
+
ψ
=
ψ
(15)
Учитывая , что волновая функция электрона в кристалле имеет вид
функции Блоха, условие (15) можно переписать в виде
ψ
k
( x+L
x
, y+L
y
, z+L
z
)=U
k
(x, y, z)exp[i (k
x
L
x
+k
y
L
y
+k
z
L
z
)]exp(i kr)=
ψ
k
(x, y, z),
откуда следует , что
exp[i (k
x
L
x
+k
y
L
y
+k
z
L
z
)]
≡
1
или
exp (i k
x
L
x
) = exp (i k
y
L
y
) = exp (i k
z
L
z
) = 1.
Последнее равенство выполняется , если
,n
L
k;n
L
k;n
L
k
z
z
y
y
x
x 321
222
π
=
π
=
π
=
(16)
где n
1
, n
2
, n
3
– любые целые числа (0, ±1, ±2, … ).
Таким образом, действительно , множество возможных квантовых
состояний электрона в k - пространстве , т. е. множество допустимых
значений компонентов волнового вектора
k,
определено дискретно. В
соответствии с этим оказывается квантованной и энергия электронов в
разрешенной энергетической зоне.
Для подсчета числа квантовых состояний (или числа уровней в
энергетической зоне) заметим, что, согласно (14), полное число атомов в
кристалле N = N
x
N
y
N
z
, а элементарный объем , приходящийся на одно
квантовое состояние, есть
(
)
(
)
,
NaLLL
kkk
zyx
zyx
3
33
22 π
=
π
= ∆∆∆
поскольку разность двух соседних целых чисел n
1
, n
2
или n
3
, входящих в
равенства (15), очевидно , равна единице. Тогда, разделив объем зоны 
                                         10
      Л ю бой     реальны й     кри ст алл являет ся ограни ченны м. Э т о
обст оят ельст во при води т к т ому, что волновой вект ор э лект рона мож ет
при ни мат ь т олько ди скрет ны й ряд значени й . Д ля т ого, чтобы подсчи т ат ь
чи сло допуст и мы х значени й k в зоне Бри ллю э на, необх оди мо учест ь
грани чны е услови я. В оспользуемся для э т ого ци кли чески ми грани чны ми
услови ями Борна–К армана.
      П редполож и м, что кри ст алл и меет ф орму параллелепи педа с
размерами по осям x, y, z соот вет ст венно Lx, Ly, Lz. П уст ь реш ет капрост ая
куби ческая спарамет ром а. Т огда

                       Lx = Nx a ;   Ly = Ny a ;   Lz = Nz a ,              (14)

где Nx, Ny, Nz – чи сло ат омов, располагаю щ и х ся на ребрах Lx, Ly и Lz
соот вет ст венно. П от ребуем, чтобы волновая ф ункци я удовлет воряла
услови ям Борна–К армана:
                      ψ ( x , y , z ) = ψ (x + L x , y + L y , z + L z ). (15)
У чи т ы вая, что волновая ф ункци я э лект рона в кри ст алле и меет ви д
ф ункци и Блох а, услови е(15) мож но перепи сат ь вви де

ψk(x+Lx, y+Ly, z+Lz)=Uk(x, y, z)exp[i (kxLx+kyLy+kzLz)]exp(i kr)= ψk(x, y, z),

от кудаследует , что
                             exp[i (kxLx+kyLy+kzLz)] ≡1
и ли
                  exp (i kxLx) = exp (i kyLy) = exp (i kzLz) = 1.

П оследнееравенст во вы полняет ся, если
                        2π            2π            2π
                   kx =    n1 ; k y =    n2 ; k z =    n3 ,                  (16)
                        Lx            Ly            Lz
где n1 , n2 , n3 –лю бы ецелы ечи сла(0, ±1, ±2, … ).
       Т аки м образом, дей ст ви т ельно, множ ест во возмож ны х квант овы х
сост ояни й э лект рона в k-прост ранст ве, т . е. множ ест во допуст и мы х
значени й компонент ов волнового вект ора k, определено ди скрет но. В
соот вет ст ви и с э т и м оказы вает ся квант ованной и э нерги я э лект ронов в
разреш енной э нергет и ческой зоне.
       Д ля подсчет а чи сла квант овы х сост ояни й (и ли чи сла уровней в
э нергет и ческой зоне) замет и м, что, согласно (14), полное чи сло ат омовв
кри ст алле N = NxNyNz, а э лемент арны й объем, при х одящ и й ся на одно
квант овоесост ояни е, ест ь
                            ∆k x ∆k y ∆k z =
                                              (2π )
                                                    3

                                                       =
                                                         (2π )
                                                               3

                                                                 ,
                                             Lx L y Lz    Na 3
поскольку разност ь двух соседни х целы х чи сел n1 , n2 и ли n3, входящ и х в
равенст ва (15), очеви дно, равна еди ни це. Т огда, раздели вобъем зоны

Страницы