Моделирование зонной структуры полупроводников. Бормонтов Е.Н - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
Чтобы подчеркнуть сходство и одновременно отметить отличие
фигурирующей в (10) величины
h
k от истинного импульса, эту величину
называют квазиимпульсом электрона.
Eсли какая - либо физическая величина сохраняется , то оператор этой
величины коммутирует с оператором Гамильтона. Таким образом,
квазиимпульсу должен соответствовать некоторый оператор,
коммутирующий с гамильтонианом кристаллической решетки .
Следовательно , можно утверждать, что при движении электрона в
периодическом поле кристаллической решетки собственные функции
операторов квазиимпульса и Гамильтона должны быть одинаковы , а между
их собственными значениями должна быть определенная функциональная
связь: Е = Е (Р ). Это означает , что энергия электрона должна быть
функцией квазиимпульса, а значит, с учетом (10), и функцией волнового
вектора, т. е.
Е = Е (k). (11)
Обратим теперь внимание на то, что волновой вектор электрона в
кристалле в отличие волнового вектора свободного электрона
неоднозначен. Чтобы показать это, рассмотрим трансляционное условие
(5), накладываемое на волновую функцию электрона, движущегося в
периодическом поле решетки :
ψ
(r + n) = exp(ikn)
ψ
(r).
Это условие не нарушится , если волновой вектор k заменить на вектор
k
+ 2π
g
, где
g
= h
a
*
+
k
b
*
+ l
c
*
– вектор обратной решетки . Действительно ,
exp [i(k + 2πg)n] = exp (ikn) exp (i2πgn) = exp (ikn)
в силу того, что (gn) = m и exp (i2πm) = 1. Таким образом, мы приходим к
выводу, что квантовые состояния, характеризуемые волновыми векторами
k и k + 2πg, физически эквивалентны . Следовательно, энергия электронов,
находящихся в этих двух состояниях , одинакова . Другими словами , и
волновая функция и энергия электрона в кристалле являются
периодическими функциями волнового вектора k с периодом 2πg:
Е (k) = Е (k + 2πg). (12)
Нахождение зависимости Е (k) является одной из важнейших задач физики
твердого тела. 
                                        8
Ч т обы подчеркнут ь сх одст во и одновременно от мет и т ь от ли чи е
ф и гури рую щ ей в(10) вели чи ны hk от и ст и нного и мпульса, э т у вели чи ну
назы ваю т квази и мпульсом э лект рона.
       Eсли какая-ли бо ф и зи ческая вели чи насох раняет ся, т о операт ор э т ой
вели чи ны коммут и рует с операт ором Гами льт она. Т аки м образом,
квази и мпульсу     долж ен      соот вет ст воват ь     некот оры й   операт ор,
коммут и рую щ и й    с гами льт они аном          кри ст алли ческой   реш ет ки .
Следоват ельно, мож но ут верж дат ь, что при дви ж ени и э лект рона в
пери оди ческом поле кри ст алли ческой реш ет ки собст венны е ф ункци и
операт оровквази и мпульсаи Гами льт онадолж ны бы т ь оди наковы , амеж ду
и х собст венны ми значени ями долж на бы т ь определенная ф ункци ональная
связь: Е = Е (Р ). Э т о означает , что э нерги я э лект рона долж на бы т ь
ф ункци ей квази и мпульса, а значи т , с учет ом (10), и ф ункци ей волнового
вект ора, т . е.
                                   Е = Е (k).                                 (11)

       О брат и м т еперь вни мани е на т о, что волновой вект ор э лект рона в
кри ст алле в от ли чи е волнового вект ора свободного э лект рона
неоднозначен. Ч т обы показат ь э т о, рассмот ри м т рансляци онное услови е
(5), наклады ваемое на волновую ф ункци ю э лект рона, дви ж ущ егося в
пери оди ческом полереш ет ки :

                            ψ (r + n) = exp(ikn)ψ (r).

Э т о услови е не наруш и т ся, если волновой вект ор k замени т ь навект ор
k + 2πg, гдеg = ha* + kb* + lc* –вект ор обрат ной реш ет ки . Д ей ст ви т ельно,

             exp [i(k + 2πg)n] = exp (ikn) exp (i2πgn) = exp (ikn)

вси лут ого, что (gn) = m и exp (i2πm) = 1. Т аки м образом, мы при х оди м к
вы воду, что квант овы е сост ояни я, х аракт ери зуемы е волновы ми вект орами
k и k + 2πg, ф и зи чески э кви валент ны . Следоват ельно, э нерги я э лект ронов,
нах одящ и х ся в э т и х двух сост ояни ях , оди накова. Д руги ми словами , и
волновая ф ункци я и э нерги я э лект рона в кри ст алле являю т ся
пери оди чески ми ф ункци ями волнового вект ораk спери одом 2πg:

                               Е (k) = Е (k + 2πg).                           (12)

Н ах ож дени езави си мост и Е (k) являет ся одной и з важ ней ш и х задачф и зи ки
т вердого т ела.

Страницы