Моделирование зонной структуры полупроводников. Бормонтов Е.Н - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6
приближения при интерпретации экспериментальных данных.
Мы будем рассматривать только стационарные состояния электронов.
Соответственно уравнение Шредингера имеет вид
()
,ErV
m
ψ=ψ+ψ∇−
2
2
2
h
(1)
причем функция V(r) обладает периодичностью кристаллической решетки :
V (r) = V (r + n), (2)
где
n
= n
1
a +
n
2
b
+ n
3
c
;
a
,
b
,
c
– векторы единичных трансляций; n
1
, n
2
, n
3
–
произвольные целые числа. При смещении кристалла на вектор n он
совмещается сам с собой .
Из условия трансляционной симметрии (2) следует , что волновые
функции электрона
ψ
(r) и
ψ
(r + n) могут отличаться лишь постоянным
множителем , т. е.
ψ (
r
+
n) =
С ψ (
r
). (3)
Кроме того, поскольку обе они должны быть нормированы , абсолютная
величина С должна быть равна единице:
.C 1
=
(4)
Условию (4) можно удовлетворить, если положить С = exp(ikn), где
k – произвольный вектор. Тогда из (3) следует , что
ψ (r + n) = exp(ikn)ψ (r), (5)
откуда
ψ (r) = exp(-ikn)ψ (r + n) = exp(ikr)U
k
(r), (6)
где
U
k
(r) = exp[-ik(r + n)]
ψ
(r + n). (7)
Функция U
k
(r) обладает трехмерной периодичностью кристаллической
решетки , так как , согласно (5) и (7),
U
k
(r + m) = exp[-ik(r + n + m)]ψ (r + n + m) =
= exp[-ik(r + n + m)]exp(ikm)ψ (r + n) = exp[-ik(r + n)]ψ (r + n) = U
k
(r).
Таким образом, волновая функция электрона в периодическом поле
кристалла имеет вид:
ψ
k
(r) = U
k
(r) exp(ikr) , (8)
где U
k
(r) – функция координат , имеющая периодичность решетки :
U
k
(r) = U
k
(r + n). (9) 
                                        6
при бли ж ени я при и нт ерпрет аци и э кспери мент альны х данны х .
     М ы будем рассмат ри ват ь т олько ст аци онарны есост ояни я э лект ронов.
Соот вет ст венно уравнени еШ реди нгераи меет ви д
                           h2 2
                         −    ∇ ψ + V (r )ψ = Eψ ,                           (1)
                           2m
при чем ф ункци я V(r) обладает пери оди чност ью кри ст алли ческой реш ет ки :

                              V (r) = V (r + n),                             (2)

гдеn = n1a + n2b + n3c; a, b, c –вект оры еди ни чны х т рансляци й ; n1, n2, n3 –
прои звольны е целы е чи сла. П ри смещ ени и кри ст алла на вект ор n он
совмещ ает ся сам ссобой .
       И з услови я т рансляци онной си ммет ри и (2) следует , что волновы е
ф ункци и э лект рона ψ (r) и ψ (r + n) могут от ли чат ься ли ш ь пост оянны м
множ и т елем, т . е.
                              ψ (r + n) = С ψ (r).                             (3)

К роме т ого, поскольку обе они долж ны бы т ь норми рованы , абсолю т ная
вели чи наС долж набы т ь равнаеди ни це:
                                    C = 1.                                  (4)
      У слови ю (4) мож но удовлет вори т ь, если полож и т ь С = exp(ikn), где
k –прои звольны й вект ор. Т огдаи з(3) следует , что

                         ψ (r + n) = exp(ikn)ψ (r),                          (5)
от куда
                    ψ (r) = exp(-ikn)ψ (r + n) = exp(ikr)Uk (r),              (6)
где
                        Uk (r) = exp[-ik(r + n)]ψ (r + n).                    (7)

Ф ункци я Uk (r) обладает т рех мерной пери оди чност ью кри ст алли ческой
реш ет ки , т ак как, согласно (5) и (7),

                Uk (r + m) = exp[-ik(r + n + m)]ψ (r + n + m) =

  = exp[-ik(r + n + m)]exp(ikm)ψ (r + n) = exp[-ik(r + n)]ψ (r + n) = Uk (r).

       Т аки м образом, волновая ф ункци я э лект рона впери оди ческом поле
кри ст алла и меет ви д:
                          ψk (r) = Uk (r) exp(ikr) ,                     (8)

где Uk (r) –ф ункци я коорди нат , и мею щ ая пери оди чност ь реш ет ки :

                              Uk (r) = Uk (r + n).                           (9)

Страницы