Моделирование зонной структуры полупроводников. Бормонтов Е.Н - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
Равенства (8), (9) составляют содержание теоремы Блоха: волновая
функция электрона, движущегося в периодическом поле, представляет
собой плоскую волну, модулированную некоторой функцией с
периодичностью решетки . Сами функции вида (8) иногда называют
функциями Блоха.
Входящий в функцию Блоха вектор k называют волновым.
Очевидно , его компоненты имеют размерность [см
– 1
]. Модуль вектора k
называют волновым числом. Его физический смысл – число длин волн ,
укладывающихся на отрезке 2π, т. е. k = 2π/λ. В задаче о движении
электрона в периодическом поле кристалла волновой вектор k играет
такую же роль, какую играет волновой вектор в задаче о движении
свободного электрона.
Состояние свободно движущегося электрона с массой m
характеризуется энергией Е и импульсом р. При этом
E = p
2
/(2m).
Этому электрону соответствует волна де Бройля длиной
λ
= h/p = h/(mv),
где v – скорость электрона. Отсюда, учитывая , что k = 2π/λ, получим
p =
h
k,
где h =h/(2π). Видно , что волновой вектор пропорционален импульсу
электрона.
Энергия свободного электрона связана с волновым вектором
соотношением
E = h
2
k
2
/(2m).
Если на электрон никакие силы не действуют, то его энергия остается
постоянной , т. е. E (k) = const. Это означает , что не меняется k и остается
постоянным импульс р. По существу , это есть законы сохранения энергии
и импульса.
На электрон, движущийся в кристалле, всегда действует
периодическое поле решетки . Энергия этого взаимодействия является
периодической функцией координат . Следовательно, энергия и импульс
электрона в кристалле изменяются со временем под действием этого поля ,
т. е. не сохраняются .
Однако, пользуясь понятием волнового вектора k , введенного для
электрона в кристалле, т. е. входящего в функцию Блоха (8), можно ввести
характеристику, аналогичную импульсу, но сохраняющуюся во времени :
Р
=
hk
. (10) 
                                        7
        Равенст ва (8), (9) сост авляю т содерж ани е т еоремы Блох а: волновая
ф ункци я э лект рона, дви ж ущ егося в пери оди ческом поле, предст авляет
собой плоскую волну, модули рованную некот орой ф ункци ей с
пери оди чност ью реш ет ки . Сами ф ункци и ви да (8) и ногда назы ваю т
ф ункци ями Блох а.
        В х одящ и й в ф ункци ю Блох а вект ор k назы ваю т волновы м.
О чеви дно, его компонент ы и мею т размерност ь [см – 1]. М одуль вект ора k
назы ваю т волновы м чи слом. Е го ф и зи чески й смы сл – чи сло дли н волн,
уклады ваю щ и х ся на от резке 2π, т . е. k = 2π/λ. В задаче о дви ж ени и
э лект рона в пери оди ческом поле кри ст алла волновой вект ор k и грает
т акую ж е роль, какую и грает волновой вект ор в задаче о дви ж ени и
свободного э лект рона.
        Сост ояни е свободно дви ж ущ егося э лект рона с массой m
х аракт ери зует ся э нерги ей Е и и мпульсом р. П ри э т ом

                                  E = p2/(2m).

Э т омуэ лект ронусоот вет ст вует волнадеБрой ля дли ной

                                λ = h/p = h/(mv),

гдеv – скорост ь э лект рона. О т сю да, учи т ы вая, что k = 2π/λ, получи м
                                       p = hk,
где h=h/(2π). В и дно, что волновой вект ор пропорци онален и мпульсу
э лект рона.
        Э нерги я свободного э лект рона связана с волновы м вект ором
соот нош ени ем
                                  E = h2k2/(2m).

Е сли на э лект рон ни каки е си лы не дей ст вую т , т о его э нерги я ост ает ся
пост оянной , т . е. E (k) = const. Э т о означает , что неменяет ся k и ост ает ся
пост оянны м и мпульс р. П о сущ ест ву, э т о ест ь законы сох ранени я э нерги и
и и мпульса.
        Н а э лект рон, дви ж ущ и й ся в кри ст алле, всегда дей ст вует
пери оди ческое поле реш ет ки . Э нерги я э т ого взаи модей ст ви я являет ся
пери оди ческой ф ункци ей коорди нат . Следоват ельно, э нерги я и и мпульс
э лект ронавкри ст аллеи зменяю т ся со временем под дей ст ви ем э т ого поля,
т . е. несох раняю т ся.
        О днако, пользуясь понят и ем волнового вект ора k, введенного для
э лект ронавкри ст алле, т . е. входящ его вф ункци ю Блох а(8), мож но ввест и
х аракт ери ст и ку, аналоги чную и мпульсу, но сох раняю щ ую ся во времени :

                                       Р = hk.                               (10)

Страницы